Přeskočit na obsah

Riemannova funkce zeta

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Riemannova funkce zeta, označovaná pomocí řeckého písmene ζ jako ζ(s), je komplexní funkce, definovaná jako analytické prodloužení součtu tzv. Dirichletovy řady. Je důležitá zejména v analytické teorii čísel. Zavedl ji v roce 1859 německý matematik Bernhard Riemann. Tato funkce je ústředním pojmem tzv. Riemannovy hypotézy, která patří k nejdůležitějším nevyřešeným problémům současné matematiky.

Zeta funkce je definována jako součet nekonečné řady (zvané zpravidla Dirichletova řada):

Tato řada konverguje pro všechna komplexní čísla, jejichž reálná část je větší než 1, a Riemann ukázal, jak lze tuto funkci rozšířit na množinu všech komplexních čísel.

Vlastnosti

[editovat | editovat zdroj]

Je-li s ≤ 1, řada diverguje:

  • je-li s = -1, pak
  • je-li s = 0, pak
  • je-li s = 1/2, pak
  • je-li s = 1, pak
, což je harmonická řada

Je-li s > 1, řada absolutně konverguje:

  • je-li s = 2, pak
, což je úloha známá jako Basilejský problém.

Zeta funkce je pro rovna tzv. Eulerovu součinu:

, kde P je množina všech prvočísel.

Tento součin se poprvé objevil, i když v trochu jiném tvaru, v článku s názvem Variae observationes circa series infinitas („Různé poznámky o nekonečných řadách“) napsaném Leonhardem Eulerem [1].
Důkaz této rovnosti je vlastně postup, jakým Euler k této souvislosti došel, a je následující:
Funkce zeta na levé straně je pro připomenutí ve tvaru

Nyní vynásobíme obě strany rovnosti číslem a dostaneme

Tento výraz odečteme od předchozího, což nám dá

Odečtení vyloučilo všechny členy se sudým jmenovatelem a zůstaly nám jen členy s lichým jmenovatelem. Pokračujeme tak, že obě strany vynásobíme číslem :

Nyní odečteme tento výraz od předchozího:

Z nekonečného součtu zmizely všechny násobky tří. Dále vynásobíme obě strany číslem :

Odečtením dostaneme

Je vidět, že při odčítání pravých stran vynecháváme samotné prvočíslo spolu s jeho násobky. Kdybychom v tomto postupu pokračovali až do nekonečna, je zřejmé, že dojdeme k rovnosti

Vydělením obou stran této rovnice postupně všemi výrazy v závorkách dostaneme výsledný vzorec, který jsme chtěli dokázat

Jak součet na levé straně, tak i součin na pravé pokračují do nekonečna. To ve skutečnosti poskytuje důkaz, že prvočísel je nekonečně mnoho. Kdyby jich totiž byl konečný počet, pak by i součin na pravé straně měl konečný počet členů a pro každé číslo s by měl určitou konečnou hodnotu. Když s = 1, pak na levé straně dostaneme harmonickou řadu, která diverguje. A protože nekonečno na levé straně rovnice se nemůže rovnat konečnému číslu napravo, musí být prvočísel nekonečně mnoho.

Rozšíření definičního oboru

[editovat | editovat zdroj]

Nekonečná řada může definovat funkci jen na části jejího definičního oboru a právě tohle platí i pro funkci zeta ve smyslu analytického prodloužení původní Dirichletovy řady. Funkce zeta má totiž konečné hodnoty pro všechny komplexní argumenty s ≠ 1.

Následuje základní myšlenka, jak zjistit hodnoty funkce pro s < 1. Nejdříve se zavede nová funkce

Tato nekonečná řada se nazývá alternující řada a konverguje pro s > 0.
Řadu lze zapsat jako

minus

kde první závorka je vlastně . Vytknutím z druhého výrazu a úpravou vznikne

Vyjádřením vyjde ke vztah

ze kterého je možné vypočítat hodnoty pro s mezi 0 a 1. V 0 je hodnota funkce zeta rovna -1/2.

Nyní je třeba zjistit, jak je to s argumenty funkce zeta, které jsou menší než 0. V Riemannově článku z roku 1859 je důkaz vzorce, kterou poprvé navrhl Euler v roce 1749 a která vyjadřuje pomocí :

Tímto vztahem se vypočítají hodnoty funkce zeta pro záporná celá čísla s.
Aby však bylo možná spočítat hodnoty funkce zeta pro všechna reálná s < 0, je nutné použít následující vzorec

který dokázal Riemann v roce 1859. Velké písmeno řecké abecedy v této rovnici je funkce gama, která je rozšířením faktoriálu do reálných a komplexních čísel.

Vybrané hodnoty analytického prodloužení
  • [2]
  • pro s = 1 diverguje: .

Nulové body

[editovat | editovat zdroj]
Související informace naleznete také v článcích Riemannova hypotéza a Věta o kritické přímce.

Nulové body Riemannovy funkce zeta jsou taková komplexní čísla s, pro která . Lze je rozdělit na

  • triviální – všechna sudá záporná celá čísla
  • netriviální – ostatní, leží v kritickém pásu, což je množina komplexních čísel, jejichž reálná část leží v otevřeném intervalu (0, 1).

Podle Riemannovy hypotézy leží všechny netriviální nuly na kritické přímce, což je přímka tvořená komplexními čísly s reálnou částí rovnou 1/2.

Netriviální nulové body velice úzce souvisí s rozložením prvočísel mezi přirozenými čísly.

  1. SANDIFER, C. E. The Early Mathematics of Leonhard Euler. [s.l.]: The Mathematical Association of America, 2007. 
  2. SLOANE N. J. A.: The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, poslounost A059750. Dostupné online (anglicky)

Literatura

[editovat | editovat zdroj]
  • DERBYSHIRE, John. Posedlost prvočísly. Praha: Academia, 2007. 
  • DEVLIN, Keith. Problémy pro třetí tisíciletí. Praha: Argo, Dokořán, 2005. 


Externí odkazy

[editovat | editovat zdroj]