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Fußball: Projektion der Flächen eines Ikosaederstumpfes auf die KugeloberflächeDas erste bekannte Bild eines Ikosaederstumpfs stammt aus Piero della Francescas Buch Libellus de quinque corporibus regularibus (ca. 1460).
Der Ikosaederstumpf (auch Fußballkörper genannt) ist ein Polyeder(Vielflächner), das durch Abstumpfung der Ecken eines Ikosaeders entsteht und zu den dreizehn archimedischen Körpern zählt. Anstatt der zwölf Ecken des Ikosaeders befinden sich nun dort zwölf regelmäßige Fünfecke; die 20 Dreiecke des Ikosaeders werden zu regelmäßigen Sechsecken. Das Polyeder setzt sich somit aus insgesamt 32 Flächen zusammen und hat 60 Ecken sowie 90 Kanten.
Beim regelmäßigen Ikosaederstumpf, also dem Fußballkörper, sind alle 90 Kanten gleich lang.
Lila: Sechseck, rot: FünfeckZur Berechnung von Eigenschaften, oben Ikosaeder, lila: Sechseck, rot: FünfeckDrahtgittermodell eines Ikosaederstumpfs
Der Ikosaederstumpf entsteht durch Abschneiden der Ecken eines regulären Ikosaeders so, dass die Kanten des Ikosaeders beidseitig um 1/3 gekürzt werden. Das mittlere Drittel wird zur Kante des Ikosaederstumpfes. Bezeichnet die Länge der Kante des Ikosaeders und die Kantenlänge des Ikosaederstumpfes, so gilt
Winkel
Für die Berechnung der Winkel zwischen zwei benachbarten Sechsecken bzw. einem Sechseck und einem Fünfeck sind die in dem Bild eingezeichneten Winkel wichtig. Die Winkel zwischen zwei Sechsecken sind mit denen von benachbarten Dreiecken des Ikosaeders identisch, da beim Abstumpfen, aus den Dreiecken Sechsecken werden. Aus der Zeichnung erkennt man, dass (wie beim Ikosaeder)
und damit gilt: Der
Winkel zwischen zwei Sechsecken ist
Für den Winkel zwischen einem Fünfeck und einem Sechseck ist zusätzlich der Winkel wichtig. Es gilt (siehe Bild)
Der Raumwinkel in einem Punkt des Ikosaederstumpfes ist also
Kugelradien
Der Kantenkugelradius ist der gleiche wie bei dem Ikosaeder. Unter Beachtung von erhält man
.
Für den Umkugelradius ergibt sich aus der Zeichnung
Also ist der
Umkugelradius
Der Inkugelradius der Kugel, die die Sechsecke berührt, ist identisch mit dem Radius der Inkugel des Ikosaeders:
Mit ergibt sich für den
Inkugelradius
Der Radius der Inkugel, die die Fünfecke berührt, ist gleich dem Abstand der Gerade in der y-z-Ebene durch den Fünfeckpunkt mit der Steigung vom Nullpunkt (siehe Bild). Die Gleichung dieser Gerade ist
Die Oberfläche des Ikosaederstumpfes ist gleich 20-mal der Fläche eines regelmäßigen Sechsecks plus 12-mal der Fläche eines regelmäßigen Fünfecks. Mit
ist die
Oberfläche des Ikosaederstumpfs
Ein Ikosaederstumpf als Körper kann man sich aus 12 Pyramiden mit einem der Fünfecke als Grundfläche und als Höhe plus 20 Pyramiden mit einem Sechseck als Grundfläche und als Höhe zusammengesetzt denken. Das Volumen des Ikosaederstumpfes ist also gleich