מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
![פירוש נוסף](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO91KgPRoqwSJ2BVMq1BngBFbA9OnO93MqTXKgrCMqiRo29TLq9SKO90MfrToE9Eb2dDb0vXK2hToABZp1dstk5NJAKRaDrQIk1iMpzFLqdXn19uriQSK3nZbZlSnQ%3D%3D)
ערך זה עוסק במושג מתורת הקבוצות. אם התכוונתם ליחס
![{\displaystyle Y={\frac {\lambda }{X}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO84aAePa2iOaga5zta4nDdAztJAnge5z2oPatKNytm1oNnEajaQoqnD)
, ראו
יחס הפוך.
במתמטיקה, ובפרט בתורת הקבוצות, היחס ההופכי ליחס בינארי
על קבוצה
, הוא היחס המסומן
ומוגדר על ידי
. לדוגמה, היחס ההופכי ליחס
על
הוא היחס
.
- הוכחה:
.
- הוכחה: מההגדרה
נובע כי
, ולכן
.
- סימטריה. בפרט אם
סימטרי, אז
.
- הוכחה:
.
- הוכחה:
ולכן יש שימור של אנטי-סימטריה. עבור א-סימטריה:
ולכן אם
א-סימטרי אז
א-סימטרי.
- הוכחה:
.
- ההופכי של ההופכי הוא היחס עצמו:
. תכונה זו מאפשרת להפוך את כל התכונות לעיל מ"אם ב-
אז ב-
" ל"ב-
אם ורק אם ב-
".
- הוכחה: לכל
מתקיים ![{\displaystyle x({\mathcal {R}}^{-1})^{-1}y\iff y{\mathcal {R}}^{-1}x\iff x{\mathcal {R}}y}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO81aDw2zAvDyjrCoNe2aqnDoto0atsNnjrDnDhDnjs0ztBBngiOoNe1)
- הפונקציה המתאימה לכל יחס את ההופכי שלו היא פונקציה שומרת הכלה:
.
- הוכחה: לכל
מתקיים
ולכן
.
- ההופכי מתפלג מעל החיתוך:
.
- הוכחה: לכל
מתקיים
.
- ההופכי מתפלג מעל האיחוד:
.
- הוכחה: לכל
מתקיים
.
- ההופכי להרכבת יחסים הוא הרכבת ההופכיים בסדר הפוך:
.
- הוכחה: לכל
מתקיים
.
- מכל התכונות בסעיף הקודם נובע כי היחס ההופכי ליחס שקילות הוא יחס שקילות, והיחס ההופכי ליחס סדר הוא יחס סדר.