Dodekahedron

Halaman ini berisi artikel tentang bangun ruang berdimensi tiga, yang bukan mengenai Dodekahedron Romawi.

Regular dodecahedron
Jenis	Platonic solid Truncated trapezohedron Goldberg polyhedron
Muka	12 regular pentagons
Rusuk	30
titik sudut	20
Grup simetri	icosahedral symmetry $\mathrm {I} _{\mathrm {h} }$
Sudut dihedral (derajat)	116.57°
Sifat-sifat	convex, regular
Jaring

Macam-macam dodekahedron

Ih, orde 120
Dodehakedron beraturan	Dodekahedron stilasi kecil	Dodekahedron besar	Dodekahedron stilasi besar
Th, orde 24	T, orde 12	Oh, orde 48	Johnson (J84)
Piritohedron	Tetartoid	Dodekahedron bermuka belah ketupat	Dodekahedron bermuka segitiga
D4h, orde 16		D3h, orde 12
Dodekahedron bermuka belah ketupat-heksagon	Dodekahedron bermuka belah ketupat-persegi	Dodekahedron bermuka belah ketupat-trapesium	Dodekahedron bermuka segitiga-belah ketupat

Dalam geometri, dodekahedron adalah suatu polihedron yang memiliki dua belas sisi (lebih tepatnya, muka). Dodekahedron yang paling terkenal adalah dodekahedron beraturan, sebab memiliki pentagon beraturan yang digunakan sebagai muka, sekaligus dikategorikan sebagai bangun ruang Platonik. Selain itu, terdapat tiga buah dodekahedron bintang beraturan yang dikonstruksikan sebagai stilasi dari bentuk cembung. Semua polihedron tersebut memiliki simetri ikosahedral, orde 120.

Beberapa dodekahedron memiliki struktur kombinatorial yang dikonstruksikan sebagai dodekahedron beraturan, dengan strukturnya digambarkan membentuk graf. Meskipun demikian, muka yang berupa pentagon tersebut tidak beraturan. Contoh dodekahedron yang mukanya tak beraturan adalah piritohedron, yang memiliki simetri pirohedral; dan tetartoid yang memiliki simetri tetrahedral.

Dodecahedron beraturan adalah polihedron dengan 12 sisi pentagonal, 30 sisi, dan 20 simpul. Ini adalah salah satu padatan Platonis, sekumpulan polihedron yang permukaannya merupakan poligon beraturan yang kongruen dan jumlah permukaan yang sama bertemu pada sebuah titik. Kumpulan polihedron ini dinamai Plato. Dalam Theaetetus, dialog Plato, Plato berhipotesis bahwa unsur-unsur klasik terbuat dari lima benda padat beraturan yang seragam. Plato menggambarkan dodecahedron biasa, dengan samar-samar menyatakan, "... dewa menggunakannya untuk mengatur konstelasi di seluruh langit". Timaeus, sebagai tokoh dialog Plato, mengasosiasikan empat padatan Platonis lainnya — tetrahedron beraturan, kubus, oktahedron beraturan, dan ikosahedron beraturan — dengan empat elemen klasik, menambahkan bahwa ada pola padat kelima yang, meskipun umumnya diasosiasikan dengan beraturan dodecahedron, tidak pernah disebutkan secara langsung; "Inilah yang digunakan Tuhan dalam penggambaran alam semesta." Aristoteles juga mendalilkan bahwa langit terbuat dari unsur kelima, yang disebutnya aithêr ( aether dalam bahasa Latin, ether dalam bahasa Inggris Amerika).

Mengikuti pengaitannya dengan alam oleh Plato, Johannes Kepler dalam bukunya Harmonices Mundi membuat sketsa masing-masing padatan Platonis, salah satunya adalah dodecahedron beraturan. Dalam bukunya Mysterium Cosmographicum, Kepler juga mengusulkan Tata Surya dengan menggunakan susunan padatan Platonis menjadi satu lagi dan memisahkannya dengan enam bola yang menyerupai enam planet. Susunan padatan dimulai dari yang terdalam hingga terluar: segi delapan beraturan, ikosahedron beraturan, dodecahedron beraturan, tetrahedron beraturan, dan kubus.

Dodekahedron dilukis oleh Johannes Kepler

Tata surya dalam bangun ruang platonik buatan Kepler

Banyak filsuf zaman kuno mendeskripsikan dodecahedron biasa, termasuk benda padat Platonis lainnya. Theaetetus memberikan deskripsi matematis dari kelima polihedra tersebut dan mungkin bertanggung jawab atas bukti pertama yang diketahui bahwa tidak ada polihedra beraturan cembung lainnya. Euclid secara matematis menggambarkan padatan Platonis dalam Elemen, buku terakhir (Buku XIII) yang dikhususkan untuk sifat-sifatnya. Proposisi 13–17 dalam Buku XIII menjelaskan konstruksi tetrahedron, oktahedron, kubus, ikosahedron, dan dodecahedron dalam urutan tersebut. Untuk setiap benda padat, Euclid menemukan rasio diameter bola yang dibatasi dengan panjang tepinya. Dalam Proposisi 18 ia berpendapat bahwa tidak ada lagi polihedra beraturan cembung. Iamblichus menyatakan bahwa Hippasus, seorang Pythagoras, tewas di laut, karena dia membual bahwa dia pertama kali membocorkan "bola dengan dua belas segi lima".

Di alam dan supramolekul

Catatan fosil coccolithophore Braarudosphaera bigelowii berasal dari 100 juta tahun yang lalu

Permukaan Holmium–magnesium–seng (Ho-Mg-Zn) quasicrystal adalah segi lima biasa yang sebenarnya

Struktur kristal dodecahedron Co20L12 dilaporkan oleh Kai Wu, Jonathan Nitschke dan rekan kerja di Universitas Cambridge di Nat. Synth. 2023, DOI:10.1038/s44160-023-00276-9

Fosil coccolithophore Braarudosphaera bigelowii (lihat gambar), alga fitoplanktonik pesisir uniseluler, memiliki cangkang kalsium karbonat dengan struktur dodecahedral beraturan dengan lebar sekitar 10 mikrometer.

Beberapa quasicrystals dan sangkar berbentuk dodecahedral (lihat gambar). Beberapa kristal biasa seperti garnet dan intan juga dikatakan menunjukkan kebiasaan "dodecahedral", namun pernyataan ini sebenarnya mengacu pada bentuk dodecahedron belah ketupat.