Przejdź do zawartości

Baza ortonormalna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Baza ortonormalna – zbiór wektorów w przestrzeni unitarnej z iloczynem skalarnym o następujących własnościach[1]:

  • dla każdego (tj. każdy element ma normę 1),
  • ortogonalność: dla różnych
  • domknięcie (w sensie topologii normowej) otoczki liniowej zbioru jest całą przestrzenią

Pojęcie bazy ortonormalnej rozpatruje się najczęściej w kontekście przestrzeni Hilberta.

Przykłady

[edytuj | edytuj kod]
  • Zbiór jest bazą ortonormalną przestrzeni euklidesowej
  • Zbiór jest bazą ortonormalną przestrzeni wszystkich ciągów liczbowych sumowalnych z kwadratem.
  • Zbiór jest bazą ortonormalną przestrzeni zespolonej Fakt ten jest podstawą teorii szeregów Fouriera.
  • Bazą ortonormalną przestrzeni gdzie jest dowolnym zbiorem, jest rodzina gdzie:

Podstawowe wzory

[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli jest bazą ortonormalną przestrzeni to dowolny wektor tej przestrzeni daje się zapisać w postaci:

Z powyższej równości, nazywanej tożsamością Parsevala, wynika że baza ortonormalna jest bazą Schaudera.

Normę wektora można wyrazić za pomocą równości[2]:

Równości te są prawdziwe również w przypadku, gdy jest zbiorem nieprzeliczalnym, gdyż z definicji jedynie przeliczalnie wiele składników odpowiedniej sumy jest różnych od zera.

Przestrzeń Hilberta z bazą jest izometrycznie izomorficzna z opisaną wyżej przestrzenią gdzie jest dowolnym zbiorem równolicznym z

Istnienie bazy ortonormalnej

[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli jest zbiorem wektorów parami ortogonalnych w przestrzeni Hilberta to domknięcie powłoki liniowej zbioru jest podprzestrzenią liniową Zbiór jest wówczas bazą ortogonalną dla tej podprzestrzeni.

Korzystając z lematu Kuratowskiego-Zorna, można uzasadnić[1], że każda przestrzeń Hilberta ma bazę ortogonalną, a w konsekwencji ortonormalną. Dowolne dwie bazy ortogonalne jednej przestrzeni mają równą moc[3]. Przestrzeń Hilberta jest ośrodkowa wtedy i tylko wtedy, gdy ma przeliczalną bazę ortogonalną[4]. Istnieją przestrzenie unitarne bez bazy ortonormalnej[5].

Ortogonalizacja

[edytuj | edytuj kod]

Każdy skończony lub przeliczalny układ wektorów liniowo niezależnych można zortogonalizować – to znaczy utworzyć inny układ wektorów, będących kombinacjami liniowymi wektorów danego układu w ten sposób, by nowy układ był już układem ortogonalnym. Typową metodą jest ortogonalizacja Grama-Schmidta[1].

Przypisy

[edytuj | edytuj kod]
  1. a b c Conway 2007 ↓, s. 14.
  2. Conway 2007 ↓, s. 15.
  3. Conway 2007 ↓, s. 17.
  4. Halmos 1982 ↓, s. 8.
  5. Halmos 1982 ↓, s. 54.

Bibliografia

[edytuj | edytuj kod]
  • John B. Conway: A Course in Functional Analysis. Springer, 2007.
  • Paul Halmos: A Hilbert Space Problem Book. New York: Springer-Verlag, 1982, seria: Graduate Texts in Mathematics 19. ISBN 978-1-4684-9332-0.

Linki zewnętrzne

[edytuj | edytuj kod]