Iloczynem tensorowym modułów
i
nazywa się taki moduł, którego odwzorowania liniowe (homomorfizmy) w dowolny moduł
są we wzajemnie jednoznacznej odpowiedniości z odwzorowaniami dwuliniowymi modułów
i
w moduł
Jeżeli
jest pierścieniem przemiennym oraz
i
są odpowiednio prawym i lewym
-modułem, to istnieje z dokładnością do izomorfizmu jedyny taki
-moduł
oraz odwzorowanie dwuliniowe
![{\displaystyle \theta \colon M\times N\to P,}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9AytdByqrDzDK1nDK1nDo4atvCa2s0ytzCaje5zqhFngiOatCNnAiN)
że dla każdej grupy abelowej
oraz dla każdego odwzorowania dwuliniowego
![{\displaystyle f\colon M\times N\to Z}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO83nDK3njK1zjzCz2iQyjnBaqrDo2o5ztm0ztw4oAs2otJEytiPaAw2)
istnieje taki homomorfizm grup
![{\displaystyle {\tilde {f}}\colon P\to Z,}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO83yqiOnjvAntKPajeQaAePntvBngrDaDdAajGOztm2agvFnAe5ntCN)
że
![{\displaystyle {\tilde {f}}\circ \theta =f.}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9EaDrDaAi3nji5zNi0oNG1ztmQoNnAzAi4ztGNzDs5zjG1zNi1zAw5)
Moduł
(wraz z odzorowaniem
) nazywana jest iloczynem tensorowym modułów
i
i oznaczana symbolem
(bądź po prostu
gdy z kontekstu wynika nad jakim pierścieniem
rozważane są moduły). Innymi słowy, iloczyn tensorowy
i
to jedyna z dokładnością do izomorfizmu grupa abelowa
dla której diagram
![](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO91KgPRoqwSJ2BVMq1BngBFbA9OnO93MqTXKgrCMqiRo29TLq9SKO90MfrToE80bNvCb1vBLZzRKB9QKA9CJqz0p29Ap21RnfrUnpaSKg5ZbNeOafl4brvBLZzRKB9QKA9CJqz0p29Ap21RnfrUnpaSKg5Z)
jest przemienny.
Iloczyn tensorowy
-modułów
i
(wraz z odwzorowaniem
) może zostać skonstruowany w następujący sposób: rozpatrzmy moduł wolny
generowany przez iloczyn kartezjański
Jego elementami są funkcje
o skończonym nośniku
postaci
![{\displaystyle f=\sum _{(m,n)\in M\times N}r_{(m,n)}(m,n)}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO85zti5aNdBaAo2oDFCzgw0nqaPyjoOytBCnDoNajFAnqiQntiQnte3)
dla pewnych
gdzie
oznacza funkcję, która
przyporządkowuje 1, gdy
i 0 w przeciwnym wypadku. Moduł ilorazowy
![{\displaystyle F(M\times N)/S,}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9EnjdBzjeOngi0age5nqeOnAiOzqzBagvBnAwPnjCQnqhDntFBnts1)
gdzie
jest podmodułem modułu
generowanym przez elementy postaci
![{\displaystyle (rm+r'm',n)-r(m,n)-r'(m',n),}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8QotmPzNG3oDG2oNwQz2o2yghEzAo3zjaQyti4oAnAaNzDaNw4nDdE)
![{\displaystyle (m,rn+r'n')-r(m,n)-r'(m,n'),}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO81aAvAyjG1z2aPaAnBntm2zDiNathEyjzEoAdCyjhCoNC2oDKNyjw2)
dla
jest iloczynem tensorowym modułów
i
![{\displaystyle F(M\times N)/S=M\otimes _{R}N.}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO83zqaPaDhDoNi5oDBDzjJDo2s3a2s2ytoOzjw4a2e1yteNzgvCoAoQ)
Element
![{\displaystyle m\otimes _{R}n:=(m,n)+S}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9AnjiPzAe0zqw5aNFFoNm3aqsOytrCzNrAots3oqi5aDw1o2s1oAe5)
nazywany jest tensorem prostym elementów
i
a każdy element
– tensorem. Zbiór wszystkich tensorów prostych jest zbiorem wolnych generatorów iloczynu tensorowego
Tensor prosty
jest obrazem pary
w homomorfizmie kanonicznym
![{\displaystyle \pi \colon F(M\times N)\to F(M\times N)/S=M\otimes _{R}N.}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO82oDs4ygdFyjJDnDdEagaPz2zEyjFDzAs3zjCOajG4yja2z2aOzDdE)
Jeżeli
są
-bimodułami, to można wprowadzić definicję iloczynu tensorowego
![{\displaystyle M_{1}\otimes _{R}\ldots \otimes _{R}M_{n},}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9BnDFFzgiOnjBDaNlBoDi3otw4oAa2aDBDaDK5ygs0a2wNztdFoAwN)
zastępując odpowiednio odwzorowania dwuliniowe odwzorowaniami
-liniowymi w określeniu.
- Claude Chevalley, Fundamental concepts of algebra. New York, Academic Press, 1956. s. 74–77.