Przejdź do zawartości

Iloczyn tensorowy modułów

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Iloczynem tensorowym modułów i nazywa się taki moduł, którego odwzorowania liniowe (homomorfizmy) w dowolny moduł są we wzajemnie jednoznacznej odpowiedniości z odwzorowaniami dwuliniowymi modułów i w moduł

Istnienie i określenie

[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli jest pierścieniem przemiennym oraz i są odpowiednio prawym i lewym -modułem, to istnieje z dokładnością do izomorfizmu jedyny taki -moduł oraz odwzorowanie dwuliniowe

że dla każdej grupy abelowej oraz dla każdego odwzorowania dwuliniowego

istnieje taki homomorfizm grup

że

Moduł (wraz z odzorowaniem ) nazywana jest iloczynem tensorowym modułów i i oznaczana symbolem (bądź po prostu gdy z kontekstu wynika nad jakim pierścieniem rozważane są moduły). Innymi słowy, iloczyn tensorowy i to jedyna z dokładnością do izomorfizmu grupa abelowa dla której diagram

jest przemienny.

Konstrukcja iloczynu tensorowego modułów

[edytuj | edytuj kod]

Iloczyn tensorowy -modułów i (wraz z odwzorowaniem ) może zostać skonstruowany w następujący sposób: rozpatrzmy moduł wolny generowany przez iloczyn kartezjański Jego elementami są funkcje o skończonym nośniku postaci

dla pewnych gdzie oznacza funkcję, która przyporządkowuje 1, gdy i 0 w przeciwnym wypadku. Moduł ilorazowy

gdzie jest podmodułem modułu generowanym przez elementy postaci

dla jest iloczynem tensorowym modułów i

Element

nazywany jest tensorem prostym elementów i a każdy element tensorem. Zbiór wszystkich tensorów prostych jest zbiorem wolnych generatorów iloczynu tensorowego Tensor prosty jest obrazem pary w homomorfizmie kanonicznym

Jeżeli -bimodułami, to można wprowadzić definicję iloczynu tensorowego

zastępując odpowiednio odwzorowania dwuliniowe odwzorowaniami -liniowymi w określeniu.

Zobacz też

[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia

[edytuj | edytuj kod]
  • Claude Chevalley, Fundamental concepts of algebra. New York, Academic Press, 1956. s. 74–77.