Z-преобразованием (преобразованием Лорана) называют свёртывание исходного сигнала, заданного последовательностью вещественных чисел во временно́й области, в аналитическую функцию комплексной частоты. Если сигнал представляет импульсную характеристику линейной системы, то коэффициенты Z-преобразования показывают отклик системы на комплексные экспоненты
, то есть на гармонические осцилляции с различными частотами и скоростями нарастания/затухания.
Z-преобразование, как и многие интегральные преобразования, может быть задано как одностороннее и двустороннее.
Двустороннее Z-преобразование
дискретного временного сигнала
задаётся как:
![{\displaystyle X(z)=Z\{x[n]\}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}.}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO82aAa5a2ePzjGQzqsOoNnEzgi4nte4zjFCaNo5o2w2oNi1zAi3nAsO)
где
— целое,
— комплексное число.
![{\displaystyle z=Ae^{j\varphi },}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9FzjdBzqs5zgi0ngo1nqnBo2i1oAsNaqdFo2oNnqhBoNhAztaPzqrF)
где
— амплитуда, а
— угловая частота (в радианах на отсчёт)
В случаях, когда
определена только для
, одностороннее Z-преобразование задаётся как:
![{\displaystyle X(z)=Z\{x[n]\}=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]z^{-n}.}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8QzDePnqi5zgeQygs5aNa3njC3ygo0yjsQzAsNaNm5z2rDnjm1atG2)
Обратное Z-преобразование определяется, например, так:
![{\displaystyle x[n]=Z^{-1}\{X(z)\}={\frac {1}{2\pi j}}\oint \limits _{C}X(z)z^{n-1}\,dz,}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8Pajm4ngw5ati5aAe1oqzAnjvEatsQz2sOnAw3aNrEaNi5zNBBzDzD)
где
— контур, охватывающий область сходимости
. Контур должен содержать все вычеты
.
Положив в предыдущей формуле
, получим эквивалентное определение:
Область сходимости
представляет собой некоторое множество точек на комплексной плоскости, в которых существует конечный предел ряда:
![{\displaystyle D=\left\{z{\Big |}\lim _{m\to \infty }\sum _{n=-m}^{m}x[n]z^{-n}=const<\infty \right\}.}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO84yqi1yqdEyqvDzjC0atC4zji0aDaOytvAzto4zNK1yjrFzqdDnqvB)
Пусть
. Раскрывая
на интервале
, получаем
![{\displaystyle x[n]=\{\ldots ;\;0{,}5^{-3};\;0{,}5^{-2};\;0{,}5^{-1};\;1;\;0{,}5;\;0{,}5^{2};\;0{,}5^{3};\;\ldots \}=\{\ldots ;\;2^{3};\;2^{2};\;2;\;1;\;0{,}5;\;0{,}5^{2};\;0{,}5^{3};\;\ldots \}.}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8QytGNzqhCzDdFagnDaqvEnDe4ntzAz2vBzAa5ytwNzDdAoAdEzDK2)
Смотрим на сумму:
![{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}=\infty .}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8QzgnDyjrEajw4aNm2oqrAythData1atzDo2ePotaPzAw3zAzEaqdC)
Поэтому, не существует таких значений
, которые бы удовлетворяли условию сходимости.
Билинейное преобразование может быть использовано для преобразования непрерывного времени, например, при аналитическом описании линейных фильтров, представленных преобразованием Лапласа, в дискретное время выборок с периодом
представленное в z-области и обратно. При таком преобразовании используется замена переменной:
![{\displaystyle s={\frac {2}{T}}{\frac {(z-1)}{(z+1)}}.}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8PoAhAajG5z2a5yjlCnAvCzgvDztBBngi3njeQoDG1ytC3z2wPajCQ)
Обратный переход от z-преобразования к преобразованию Лапласа производится аналогичной заменой переменной:
![{\displaystyle z={\frac {2+sT}{2-sT}}.}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO85agdBothFoNw1zjGQagvDaji5njiPo2wNyqs1nthEaAo2otrBaqaO)
Билинейное преобразование отображает комплексную s-плоскость
преобразования Лапласа на комплексную z-плоскость z-преобразования. Это отображение нелинейное и характерно тем, что отображает ось
s-плоскости на единичную окружность в z-плоскости.
Таким образом, преобразование Фурье, которое является преобразованием Лапласа для переменной
, переходит в преобразование Фурье с дискретным временем. При этом предполагается, что преобразование Фурье существует, то есть ось
находится в области сходимости преобразования Лапласа.
Обозначения:
— функция Хевисайда.
для
, и
для всех остальных n — дельта-последовательность (не следует путать с дельта-символом Кронекера и дельта-функцией Дирака).
|
Сигнал, ![{\displaystyle x[n]}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO84zDvDoAdBnAdCo2e1zqhAzgw5aNCQytiPngsPoAo3aji2z2a0otzC) |
Z-преобразование, ![{\displaystyle X(z)}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO83aDJAoDe3zqzFaDe4aDlEnDCPntsOzDiOaga0yta5othCaNFFaAeQ) |
Область сходимости
|
1 |
![{\displaystyle \delta [n]}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9AaAi2o2hAzta1o2e0zgnFaNsOzAeOnDaOajaNagi4ajrBngnCnAhF) |
![{\displaystyle 1}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO85aAw5yge4aAiNzNK4nDm0aNiQygw0nteQytoQotCPytzCnDs3o2dA) |
|
2 |
![{\displaystyle \delta [n-n_{0}]}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8OoAvEaje2ztmOz2sQztnAatnAo2s4z2hEaDGOoDs3o2eQa2a0nDFD) |
![{\displaystyle {\frac {1}{z^{n_{0}}}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO84nteNzAhAajoNoNrAzAiPztrAaNhFaNaPajm4zjdFagsNotFFotKQ) |
|
3 |
![{\displaystyle \theta [n]}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO84oDa3aje3aNoOnDG4ytvEyqnEaAe4nqsQygwOotBAnqa1ygdCnje3) |
![{\displaystyle {\frac {z}{z-1}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO82zjC2zDlFoAhAytK2aNdAztCPztrCngaNzjGQzAo5zDnBaNaQaNe5) |
|
4 |
![{\displaystyle a^{n}\theta [n]}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO80aDzCajBEyghCoDG1zAnFati3ygrCzDaOoDlDzja5ots1ots4zjmO) |
![{\displaystyle {\frac {1}{1-az^{-1}}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8Qo2dCzDsQzNw0oteQotdBnAw1aqwNaNa4oNeNyje1zgvFageQzjnD) |
|
5 |
![{\displaystyle na^{n}\theta [n]}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8NaDG4zNw5nDK4zja5aAeOnjmPzjG0zqo1aAwOaDiQateOatm5yga5) |
![{\displaystyle {\frac {az^{-1}}{(1-az^{-1})^{2}}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9EoNJEaqe0ytBEzgvFajwQaDe2zDs2ajJFzNGPnqhAyjC3ztC3ago0) |
|
6 |
![{\displaystyle -a^{n}\theta [-n-1]}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9AztzCnjrCzDhFatvBate1otKQygdDzqaQyjm4zto5ytC0zDiPygoP) |
![{\displaystyle {\frac {1}{1-az^{-1}}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8Qo2dCzDsQzNw0oteQotdBnAw1aqwNaNa4oNeNyje1zgvFageQzjnD) |
|
7 |
![{\displaystyle -na^{n}\theta [-n-1]}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8PoNi4zjKPztwPaqs0oDoPyga3nDFFnga2yjo2ota1oqw0yjw3a2i3) |
![{\displaystyle {\frac {az^{-1}}{(1-az^{-1})^{2}}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9EoNJEaqe0ytBEzgvFajwQaDe2zDs2ajJFzNGPnqhAyjC3ztC3ago0) |
|
8 |
![{\displaystyle \cos(\omega _{0}n)\theta [n]}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO81nqhEnte2njJDaAe5ytFCato4ajm4zjKPz2s3ote2ztaPaDw4njG5) |
![{\displaystyle {\frac {1-z^{-1}\cos(\omega _{0})}{1-2z^{-1}\cos(\omega _{0})+z^{-2}}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8NzNo5oNnBytFCotK1zqiPzjJCzDKPngs2zgvCaAw0ntoOagrEaqzF) |
|
9 |
![{\displaystyle \sin(\omega _{0}n)\theta [n]}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9EytvDnjhEzgw4nqnEnqdBz2aQnDw2ztK0agoOzDsNnAiOyqa5oAsN) |
![{\displaystyle {\frac {z^{-1}\sin(\omega _{0})}{1-2z^{-1}\cos(\omega _{0})+z^{-2}}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO82zDrFyjo1aNo4aNe3zgnCzDeNzDnCoNmNnDm3zqzEo2w5zAzDnjmQ) |
|
10 |
![{\displaystyle a^{n}\cos(\omega _{0}n)\theta [n]}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9Cate1oDsPzti1z2o1yqe0ytKOzNw4oAeQzjm2aNBBnqvAnDC2aNaQ) |
![{\displaystyle {\frac {1-az^{-1}\cos(\omega _{0})}{1-2az^{-1}\cos(\omega _{0})+a^{2}z^{-2}}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO84zqdBo2zDajeNzta5atm1z2hBzjJDzjC2nta4oAhAnAo2zjKOygvE) |
|
11 |
![{\displaystyle a^{n}\sin(\omega _{0}n)\theta [n]}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8PotBCzqo3nqvBoArEatnFotGOoDG0nDo1aDi3z2zFaAa4atzAnAzD) |
![{\displaystyle {\frac {az^{-1}\sin(\omega _{0})}{1-2az^{-1}\cos(\omega _{0})+a^{2}z^{-2}}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9EnghEoto3zjs5ytJEyqrAzNe1nDa4yqw4ntdBnqsOzAo0nAo3otFE) |
|