Z-перетворенням (перетворенням Лорана) називають згортання вихідного сигналу, заданого послідовністю дійсних чисел у часовій області, в аналітичну функцію комплексної частоти. Якщо сигнал являє імпульсну характеристику лінійної системи, то коефіцієнти Z-перетворення показують відгук системи на комплексні експоненти
, тобто на гармонійні осциляції з різними частотами і швидкостями наростання / загасання.
Дискретна функція
є функцією, яка визначена у дискретні моменти часу
Таку функцію можна записати у вигляді
де
- неперервна змінна. Ця функція
характеризується тим, що вона визначається неперервною функцією (неперервного аргументу)
й примає її значення у моменти
Така функція називається ґратчастою функцією. Крім того, використовуєтьс зміщена ґратчаста функція
яка приймає значення неперервної функції у моменти
-перетворення - це співвідношення[1]
яке ставить у відповідність дискретній функції
функцію комплексної змінної
При цьому
називається оригіналом, а
- зображенням або
-зображенням.
-перетворення також умовно записується у вигляді
а зворотне
-перетворення - у вигляді
-перетворення із зміщеною ґратчастою функцією
тобто співвідношення
називають модифікованим
-перетворенням. Це перетворення також записується у вигляді
Наприклад, нехай потрібно визначити
-зображенням зміщеної ґратчастої функції
та зміщеної ґратчастої функції
Оскільки за усіх
то
По формулі нескінченно спадаючої геометричної прогресії
- існують додатні числа
та
такі, що ![{\displaystyle |x[lT]|<Mq^{t}\quad (\forall l\geq 0);}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO82njCPaga2oDa2o2a4ntzAaqs2otoNaDiNyjw3ajnCzAzDytJEzAwP)
![{\displaystyle x[lT]=0\quad (\forall l<0).}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8NajiPatCNzDe3oArDzgrEa2vBoNrBztlCoNBFzNe4ytnAzgs5ygw4)
Перша властивість є необхідною для існування області збіжності ряду у правій частині, а друга властивість використовується для виводу деяких властивостей
-перетворення. Функції, які задовільняють вказаним двом властивостям, називають фукціями-оригіналами.
- Лінійність. Модифіковане
-перетворення від лінійної комбінації дискретних функцій дорівнює лінійній комбінації їх модифікованих
-перетворень:
Тут
- константи.
- Запізнювання. Модифіковане
-перетворення від функції із запізнюваним аргументом
визначається як: ![{\displaystyle Z^{\varepsilon }\{x[(l-m)T]\}=z^{-m}Z^{\varepsilon }\{x[lT]\}=z^{-m}X(z,\varepsilon ).}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO83oDBAaNiPngvCatzAzgo1otzBzjrAaNe1ote0ntBEnDC2nAs1nDoQ)
- Випередження. Модифіковане
-перетворення від функції із випереджуючим аргументом
визначається як:
Якщо
(початкові умови нульові), то ![{\displaystyle Z^{\varepsilon }\{x[(l+m)T]\}=z^{m}X(z,\varepsilon ).}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9BzjFBnDi1nDvBntrAoNK3ytw4z2dEaDBFaji0aAw0nDFAytJFyjrD)
- Згортання. Добуток зображень
та
дорівнює
-перетворенню від згортання їх оригіналів
та
: ![{\displaystyle X_{1}(z,\varepsilon )X_{2}(z,\varepsilon )=Z\{\sum _{k=0}^{l}x_{1}[(k+\varepsilon )T]x_{2}(l-k+\varepsilon )T\}=Z\{\sum _{k=0}^{l}x_{2}[(k+\varepsilon )T]x_{1}[(l-k+\varepsilon )T]\}.}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9DajwOaNvCnArEaDCPz2i5zDwPoAzEzNsNyjBFz2rFzNrDnDrBaDoP)
- Межеві значення. Початкове значення ґратчастої функції
по її звичайному та модифікованому
-зображенню визначається як:
Границя
за умови, що вона існує, визначається як: ![{\displaystyle x(\infty )=\lim _{z\rightarrow 1}(z-1)X(z,\varepsilon )=\lim _{z\rightarrow 1}(z-1)X(z).}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8PatwOotw1ate3zjo0aqs3aNoNzAsQaqe5zjhCzNzCygnDoNG4nje4)
Z-перетворення, як і багато інтегральних перетворень, може бути як одностороннє, так і двостороннє.
Двостороннє Z-перетворення X (z) дискретного часового сигналу x [n] задається як:
.
де n — ціле, z — комплексне число.
,
де A — амплітуда, а
— кутова частота (у радіанах на відлік)
У випадках, коли x [n] визначена тільки для
, одностороннє Z-перетворення задається як:
.
Зворотне Z-перетворення визначається, наприклад, так:
,
де C — контур, що охоплює область збіжності X (z). Контур повинен містити всі відрахування X (z).
Поклавши в попередній формулі
, отримаємо еквівалентне визначення:
Позначення:
|
Сигнал, ![{\displaystyle x[n]}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO84zDvDoAdBnAdCo2e1zqhAzgw5aNCQytiPngsPoAo3aji2z2a0otzC) |
Z-перетворення, ![{\displaystyle X(z)}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO83aDJAoDe3zqzFaDe4aDlEnDCPntsOzDiOaga0yta5othCaNFFaAeQ) |
Область збіжності
|
1 |
![{\displaystyle \delta [n]\,}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO83aqdAyjzAatG4otFCzqa1zjvBzjs2zqs3zDCQoDwQaDBEoqrCzje0) |
![{\displaystyle 1\,}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9EnAwPntK5yjvAntnBaqe3yqiOzDwQzgi4ata4otnDzArBzjhFzjK2) |
|
2 |
![{\displaystyle \delta [n-n_{0}]\,}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8NzNwOagdCzjzFntiNotrDz2oNajlEz2s3zgzFntnAajFCaNG5aDBF) |
![{\displaystyle {\frac {1}{z^{n_{0}}}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO84nteNzAhAajoNoNrAzAiPztrAaNhFaNaPajm4zjdFagsNotFFotKQ) |
|
3 |
![{\displaystyle \theta [n]\,}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8Onts1nqiNzjJDzNhAzDK0zDzCaqi0nAa3oDK2ati0zgaPzNhEngnB) |
![{\displaystyle {\frac {z}{z-1}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO82zjC2zDlFoAhAytK2aNdAztCPztrCngaNzjGQzAo5zDnBaNaQaNe5) |
|
4 |
![{\displaystyle a^{n}\theta [n]\,}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8Qags5ntG0aNCNntw2yqhCzja4oDs1ntnEajBAoDlBoDBEnDG1zje4) |
![{\displaystyle {\frac {1}{1-az^{-1}}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8Qo2dCzDsQzNw0oteQotdBnAw1aqwNaNa4oNeNyje1zgvFageQzjnD) |
|
5 |
![{\displaystyle na^{n}\theta [n]\,}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO84oNhAntiQoDrAotdBatCQnDw1ntrDnDG5ytGOzgiPzNK5o2vBoDFA) |
![{\displaystyle {\frac {az^{-1}}{(1-az^{-1})^{2}}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9EoNJEaqe0ytBEzgvFajwQaDe2zDs2ajJFzNGPnqhAyjC3ztC3ago0) |
|
6 |
![{\displaystyle -a^{n}\theta [-n-1]\,}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8Pajo4aDs4ztvEytiNnteNnDw3ajCNaqo3zNo5njdDntrByjvCnjJA) |
![{\displaystyle {\frac {1}{1-az^{-1}}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8Qo2dCzDsQzNw0oteQotdBnAw1aqwNaNa4oNeNyje1zgvFageQzjnD) |
|
7 |
![{\displaystyle -na^{n}\theta [-n-1]\,}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO81otG0z2nCzNoPo2sNyqs3aAnEotdAnjm1aqsPoNo0ajaQyjiPytlD) |
![{\displaystyle {\frac {az^{-1}}{(1-az^{-1})^{2}}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9EoNJEaqe0ytBEzgvFajwQaDe2zDs2ajJFzNGPnqhAyjC3ztC3ago0) |
|
8 |
![{\displaystyle \cos(\omega _{0}n)\theta [n]\,}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO80o2zCaDi4yge1a2oNztm4ageOytiOngsNotnDotwPajnCotCNaDw4) |
![{\displaystyle {\frac {1-z^{-1}\cos(\omega _{0})}{1-2z^{-1}\cos(\omega _{0})+z^{-2}}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8NzNo5oNnBytFCotK1zqiPzjJCzDKPngs2zgvCaAw0ntoOagrEaqzF) |
|
9 |
![{\displaystyle \sin(\omega _{0}n)\theta [n]\,}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8Nygo1aDe1o2i1z2iPnDi0oArCoDm0aji2zDCNyqnEnDs5zqe3ajeO) |
![{\displaystyle {\frac {z^{-1}\sin(\omega _{0})}{1-2z^{-1}\cos(\omega _{0})+z^{-2}}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO82zDrFyjo1aNo4aNe3zgnCzDeNzDnCoNmNnDm3zqzEo2w5zAzDnjmQ) |
|
10 |
![{\displaystyle a^{n}\cos(\omega _{0}n)\theta [n]\,}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9EygeNoAs0yjm4oqaPzAvBaDmPyqwOzAzCztFBaqoNz2w5zDvBztmO) |
![{\displaystyle {\frac {1-az^{-1}\cos(\omega _{0})}{1-2az^{-1}\cos(\omega _{0})+a^{2}z^{-2}}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO84zqdBo2zDajeNzta5atm1z2hBzjJDzjC2nta4oAhAnAo2zjKOygvE) |
|
11 |
![{\displaystyle a^{n}\sin(\omega _{0}n)\theta [n]\,}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO81z2oNnjm3oqi0zjmQnge0ygvEo2i3yghAntG4zDo5yqi4aNBFnjiQ) |
![{\displaystyle {\frac {az^{-1}\sin(\omega _{0})}{1-2az^{-1}\cos(\omega _{0})+a^{2}z^{-2}}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9EnghEoto3zjs5ytJEyqrAzNe1nDa4yqw4ntdBnqsOzAo0nAo3otFE) |
|
- ↑ Ким Д.П. Теория автоматического управления (том 1).