q-Pochhammersymbolen är en q-analogi av Pochhammersymbolen. Den definieras som
![{\displaystyle (a;q)_{n}=\prod _{k=0}^{n-1}(1-aq^{k})=(1-a)(1-aq)(1-aq^{2})\cdots (1-aq^{n-1})}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9EzjnCaDm2zqe2ztK4nDaPzgoQaNsNnqs1atBDato2yjzCnjC0yge0)
och
![{\displaystyle (a;q)_{0}=1.}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8OzgsQyjs4ajo0ygaPzNCOzAoQaDw1zjnAnDG3zNnCoNK4zqzByjvA)
Q-Pochhammersymbolen är väldigt viktig inom q-analogteori och q-serier.
q-Pochhammersymbolen kan skrivas som en oändlig produkt:
![{\displaystyle (a;q)_{n}={\frac {(a;q)_{\infty }}{(aq^{n};q)_{\infty }}},}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO81oNJAytm3yta2nDo2ygzDoqzCygoOoqe4yqw0oqvEaDnBzjePzji4)
och på det viset definieras för negativa heltal n. Om n är positiv är då
![{\displaystyle (a;q)_{-n}={\frac {1}{(aq^{-n};q)_{n}}}=\prod _{k=1}^{n}{\frac {1}{(1-a/q^{k})}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO82ytoOoDJByta0o2zDygo2ntK0aNBAoNwNaDnAztlFzjoQyjJEajs0)
och
![{\displaystyle (a;q)_{-n}={\frac {(-q/a)^{n}q^{n(n-1)/2}}{(q/a;q)_{n}}}.}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8OnDnAnjC5a2wPatwOyqa3nDvBzte1zjm2nja3otwNzAzFaAzAago1)
q-Pochhammersymbolen förekommer i flera q-serieidentiteter:
![{\displaystyle (x;q)_{\infty }=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}q^{n(n-1)/2}}{(q;q)_{n}}}x^{n}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9DoAdDyjnBotmNytm2atGNzjw1yqhBajC5nDK0nAdBnqzFnqiQaNvB)
och
,
som är båda specialfall av q-binomialsatsen:
![{\displaystyle {\frac {(ax;q)_{\infty }}{(x;q)_{\infty }}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(q;q)_{n}}}x^{n}.}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9Cz2nEaDC1aNm5agiNzDe5agzEaNFAyjhAzAePagoNaNCQaDhBo2sN)
q-Pochhammersymbolen är nära relaterad till kombinatoriska teorin av partitioner. Koefficienten av
i
![{\displaystyle (a;q)_{\infty }^{-1}=\prod _{k=0}^{\infty }(1-aq^{k})^{-1}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9Ez2hBage2aNJAyjzAnqzEz2iQaDoQoqs0nDCOotKOzNsOz2vAytrF)
är antalet partitioner av m i högst n delar.
Eftersom, genom konjugering av partitioner, är detta samma antalet partitioner av m i delar som är högst n, får vi att genererande funktionerna är identiska:
![{\displaystyle (a;q)_{\infty }^{-1}=\sum _{k=0}^{\infty }\left(\prod _{j=1}^{k}{\frac {1}{1-q^{j}}}\right)a^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {a^{k}}{(q;q)_{k}}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO81oAvFaDC5aDG0aje1zNi1nDiOngaOzqs3nts2nqaOyts3zgaNzto0)
som i sektionen ovan.
Eftersom
![{\displaystyle \lim _{q\rightarrow 1}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}=n}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8PzjK5oqsOngs2oAaPzqoNaDC4nthFnqzAoNrCagiNzAaOotw5z2oP)
kan q-analogin av n definieras som
![{\displaystyle [n]_{q}={\frac {1-q^{n}}{1-q}}.}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9FajdDnDo2aNeQaDo1a2vAnAdDnDa1yqhCzDG1zjwOntKOotK1ytG2)
Med hjälp av det här går det att definiera q-analogin av fakulteten, q-fakulteten, som
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Med hjälp av q-fakulteten kan man definiera q-binomialkoefficienterna, även kända som Gaussiska koefficienterna, Gaussiska polynomen samt Gaussiska binomialkoefficienterna, som
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}_{q}={\frac {[n]_{q}!}{[n-k]_{q}![k]_{q}!}}.}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO84njm4oqi4nDBCzjC1ztw1yjm5nAaNnDo3aDC2zNw1aNBCnqdBnqrD)
Man kan lätt kontrollera att
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}n+1\\k\end{bmatrix}}_{q}={\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}_{q}+q^{n-k+1}{\begin{bmatrix}n\\k-1\end{bmatrix}}_{q}.}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9DzNmNnqwOygzFoNvEnAo3otnAote1yjrBnjmNo2w1njzDzts0yjrE)
q-Analogin av gammafunktionen, q-gammafunktionen, definieras som
![{\displaystyle \Gamma _{q}(x)={\frac {(1-q)^{1-x}(q;q)_{\infty }}{(q^{x};q)_{\infty }}}.}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO83atm5zNC5ztmQnDlCnqs4nqoQzDo5ntK1zDCOaNvCagw4ztC4zDi3)
Den satisfierar identiteterna
![{\displaystyle \Gamma _{q}(x+1)=[x]_{q}\Gamma _{q}(x)\,}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8QzDGNatCOo2eNoDiPaNCQoDe4zqi2ygrDntw4zjoPaAw0zjG0aDG2)
för alla x och
![{\displaystyle \Gamma _{q}(n+1)=[n]_{q}!{\frac {}{}}.}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9FnDGOoAa2nqiQoNK0agiQaAdCaNa3ygrAzgw5zAnFaNFFyjiOoqdB)
för alla icke-negativa heltal n.
- Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Q-Pochhammer symbol, 16 november 2013.