En unitär matris är en kvadratisk matris vars hermiteska konjugat även är dess invers, det vill säga
![{\displaystyle UU^{H}=U^{H}U=I\,}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9FytG2aAe4oDCQaqs0ntvDagi5oAw4ajzDaAnCzjaPngdBnqoNots3)
där I är enhetsmatrisen och
är matrisens hermiteska konjugat (transponering och komplexkonjugering av matrisens element).
En komplexvärd kvadratisk matris
![{\displaystyle U={\begin{pmatrix}u_{11}&\cdots &u_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\u_{n1}&\cdots &u_{nn}\end{pmatrix}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8PnDrAaNo2zNlCo2a3aDCNoAw2zAdCoNrDztrBaqoPzNo0oDG1atrB)
är således unitär om dess invers ges av
![{\displaystyle U^{-1}={\begin{pmatrix}{\overline {u_{11}}}&\cdots &{\overline {u_{n1}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\overline {u_{1n}}}&\cdots &{\overline {u_{nn}}}\end{pmatrix}},}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9Anqa5aNBEzDo5yje4zNiPzDwPnjhCzDo1zNrCnqrCoNFDnjePyqrD)
där
betecknar
komplexkonjugatet av det komplexa talet
, det vill säga om
![{\displaystyle u_{kl}=a_{kl}+ib_{kl}\,}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9DngsOzAoQoDvFntw4aAi5oAnAoqa5yje4nArDzjoNzjzDzjrByqvC)
där
och
är reella tal, är
![{\displaystyle {\overline {u_{kl}}}=a_{kl}-ib_{kl}.}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO85oAa0oNw1nji2nDvBzga2oDvBajCNnts0aAnCaNK1ati4zAhAnjBF)
Matrisen
![{\displaystyle U={\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9AnAsQztGNoNsQaNvFaqw5oNm2ztJDntFFythCzqo2aDmPotlFoDCN)
är unitär, eftersom
![{\displaystyle U\,U^{H}={\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&-i\\-i&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-i^{2}&0\\0&-i^{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}=I}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO80o2nDnDzBajm1aDdBoArAa2aPz2e2zjG0yteOoAi0aDa4zjmOa2wO)
För en unitär matris U gäller
- För två komplexa vektorer x och y, bevaras vektorernas inre produkt (skalärprodukt) vid multiplikation med U, det vill säga
![{\displaystyle \langle Ux,\ Uy\rangle =\langle x,\ y\rangle }](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO84ytw3agdEatBEaDGQoAnByta4aNKOoNs2oNvEytK3otnAnDe1yja2)
![{\displaystyle |\det U|=1}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO83ytJDagoNoDKNaqvDyghAnDBAaDsOoNCNoDsNyjzEnthCo2wOyqa3)