Hoppa till innehållet

Trippelprodukt

Från Wikipedia

Det finns två sorters trippelprodukter av vektorer; den skalära och den vektoriella. Båda handlar om att multiplicera tre vektorer () med varandra genom en serie skalär- och kryssprodukter.

Skalär trippelprodukt

[redigera | redigera wikitext]
Den skalära trippelprodukten kan tolkas som volymen av en parallelepiped. Basytan är i figuren , höjden är lika med och volymen är basytan gånger höjden, det vill säga . Cyklisk permutation innebär bara att en annan sida blir basyta och att höjden räknas ut från den "överblivna" kanten i stället. Byter man ordning på och i kryssprodukten byter tecken och "volymen" blir negativ eftersom .

Den skalära trippelprodukten definieras som skalärprodukten av den ena vektorn med kryssprodukten av de två andra, det vill säga:

Vektorerna kan inom produkten flyttas runt cykliskt, det vill säga:

Byter man ordning i kryssprodukten byter trippelprodukten tecken:

Eftersom skalärprudukten är kommutativ gäller även exempelvis:

[1]

Geometrisk tolkning

[redigera | redigera wikitext]

Den skalära trippelprodukten kan geometriskt tolkas som volymen (med tecken) av parallellepipeden som definieras av de tre vektorerna.

Determinanttolkning

[redigera | redigera wikitext]

Man kan också tolka den skalära trippelprodukten som determinanten av den matris som har de tre vektorerna som rader eller kolonner.

Vektoriell trippelprodukt

[redigera | redigera wikitext]

Den vektoriella trippelprodukten är

Den vektoriella trippelprodukten kan utvecklas med hjälp av Lagranges formel[2], "BAC-CAB-regeln":

Bevis
ger
,
och
Utveckling av ger:
På samma sätt får vi:
och
, sålunda:

Referenser och noter

[redigera | redigera wikitext]
  1. ^ Ty .
  2. ^ Uppkallad efter Joseph-Louis Lagrange som använde metoden i komponentform 1773 i Solutions analytiques de quelques problèmes sur les pyramides triangulaires, innan skalär- och vektorprodukt introducerades formellt på 1800-talet (William Rowan Hamilton introducerade begreppen "vektor" och "skalär" 1843).