Integrál

Integrál je jeden ze základních pojmů matematiky. Spolu s derivací tvoří dvě hlavní operace matematické analýzy. Integrál je v určitém smyslu opak derivace a díky tomu umožňuje v aplikacích najit měnící se veličinu nebo její změnu z informace o tom jakou rychlostí se tato veličina mění, dále v geometrii umožňuje najít rovnici křivky z informace o její tečně nebo obsahy některých útvarů v rovině.

Určitý a neurčitý integrál

Pojmem integrál zpravidla rozumíme určitý nebo neurčitý integrál. Jedná se o dvě odlišné koncepce, které spolu úzce souvisí.

Neurčitý integrál je možno chápat jako opak derivace a proto umožňuje z rychlosti měnící se veličiny určit časový průběh této veličiny. Například integrálem funkce popisující rychlost pohybu v čase je funkce popisující polohu objektu jako funkce času. Neurčitý integrál zapisujeme symbolem $F=\int f(x)\,\mathrm {d} x.$

Určitý integrál je možno (pro nezáporné funkce) chápat geometricky jako obsah plochy pod křivkou definovanou grafem funkce nad určitým zadaným intervalem. Integrál funkce $f$ na intervalu $[a,b]$ zapisujeme symbolem $\int _{a}^{b}\!f(x)\,\mathrm {d} x.$ V aplikacích určitý integrál často figuruje jako změna veličiny, která se na intervalu $[a,b]$ mění rychlostí danou funkcí $f$ .

Principy integrování byly poprvé formulovány nezávisle na sobě Isaacem Newtonem a Gottfriedem Leibnizem na konci 17. století. Nezávisle vyvinuli základní větu analýzy, díky níž spojili diferenciální a integrální počet. Nechť ƒ je spojitá reálná funkce na uzavřeném intervalu [a, b] a funkce F je primitivní k funkci ƒ. Potom hodnota (určitého) integrálu funkce ƒ na tomto intervalu je $\int _{a}^{b}\!f(x)\,\mathrm {d} x=F(b)-F(a).$

Určitý integrál

Určitý integrál je pojem, který ve skutečnosti zahrnuje mnoho různých definic, podle přístupu k tvorbě integrálních součtů. V důsledku toho existuje řada různých určitých integrálů. Mezi ně patří:

Newtonův integrál (jehož definice souvisí s neurčitým integrálem)
Zobecněný Newtonův integrál
Riemannův integrál (jehož definice vystihuje geometrickou interpretaci „plocha pod křivkou“)
Lebesgueův integrál, který dokáže zintegrovat zvláště širokou třídu funkcí
Mohrův integrál
Duhamelův integrál
Borweinův integrál

Jednotlivé integrály se liší množinou funkcí, které jsou ve smyslu jednotlivých definic integrovatelné. Pokud však je funkce integrovatelná ve smyslu více definic, pak je hodnota integrálu stejná. Definice jsou tedy ekvivalentní nad společnými podmnožinami svých definičních oborů.^[1]

V praxi a v základních kurzech matematiky se zpravidla pod pojmem určitý integrál rozumí Riemannův nebo Newtonův integrál.

Neurčitý integrál

Neurčitý integrál funkce je množina jejích primitivních funkcí. Používá se zejména k výpočtu určitého integrálu s využitím základní věty integrálního počtu a při řešení diferenciálních rovnic.

Při hledání primitivní funkce se používají různé integrační techniky, například integrace per partes, substituční metoda, rozklad na parciální zlomky.

Vztah mezi určitým a neurčitým integrálem

Určitý integrál zpravidla počítáme pomocí Základní věty integrálního počtu jako změnu primitivní funkce na uvažovaném intervalu. V tomto smyslu je možno určitý integrál vyjadřovat pomocí neurčitého integrálu.
Vztahem $F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\mathrm {d} t$ je možno definovat primitivní funkci k funkci $f$ pomocí Riemannova integrálu. V tomto smyslu je možno neurčitý integrál vyjadřovat pomocí určitého integrálu. Toto sa využívá v případech, kdy primitivní funkce není elementární funkcí, například integrálsinus. V takovém případě bývá obvyklé použít k výpočtu integrálu numerickou integraci.

Tato část článku je příliš stručná nebo postrádá důležité informace. Pomozte Wikipedii tím, že ji vhodně rozšíříte.

Aplikace

Pomocí určitého integrálu lze určit např. obsah rovinného obrazce, délku oblouku rovinné křivky, obsah rotační plochy nebo objem rotačního tělesa. Ve fyzice integrál můžeme použít při výpočtu např. statických momentů, momentů setrvačnosti, těžiště tělesa nebo hmotnosti. Integrály se využívají při řešení diferenciálních rovnic, například v populačních modelech.

Zobecnění určitého integrálu

Křivkový integrál

Křivkový integrál je integrál skalárního nebo vektorového pole počítaný podél křivky.

Komplexní integrál

V komplexních číslech se zpravidla užívají křivkové integrály. Pokud tyto integrály probíhají po uzavřené křivce v komplexní rovině, lze je zpravidla snadno spočíst pomocí reziduové věty, Cauchyova vzorce nebo Cauchyovy věty.

Vícerozměrný integrál

Integraci pro funkce více proměnných lze zavést podobně jako pro funkce jedné proměnné. Integrace probíhá vždy na určité oblasti $\displaystyle \Omega$ . Je-li $\displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ funkcí $\displaystyle n$ proměnných, pak její integrál na určité n-rozměrné oblasti $\displaystyle \Omega$ označujeme jako vícerozměrný ( $n$ -rozměrný, např. dvourozměrný, trojrozměrný apod.) integrál, přičemž jej zapíšeme některým z následujících způsobů

{\iint \cdots \int }_{\Omega }f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,\mathrm {d} \Omega ={\iint \cdots \int }_{\Omega }f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,\mathrm {d} x_{1}\mathrm {d} x_{2}\cdots \mathrm {d} x_{n}={\iint \cdots \int }_{\Omega }f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,\mathrm {d} ^{n}x

Počet integračních znaků $\int$ odpovídá počtu proměnných, přes které integrujeme. Je-li ze zápisu integrálu zjevné, že se jedná o vícerozměrný integrál, pak zapisujeme pouze jeden integrační znak, např.

\int _{\Omega }f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,\mathrm {d} \Omega \,

Vícerozměrné integrály se obvykle řeší převodem na vícenásobnou integraci pomocí Fubiniovy věty. Mezi vícerozměrné integrály řadíme např. plošný a objemový integrál.

Odkazy

Reference

↑ Věta pro Riemannův integrál a Lebesgueův integrál, V. I. Bogachev: Measure Theory, Springer. - http://web.science.upjs.sk/jozefdobos/wp-content/uploads/2012/04/nevlastny.pdf, slovensky

Literatura

Rektorys, K. a spol.: Přehled užité matematiky I.. Prometheus, Praha, 2003, 7. vydání. ISBN 80-7196-179-5

Související články

Externí odkazy

Obrázky, zvuky či videa k tématu integrál na Wikimedia Commons
Slovníkové heslo integrál ve Wikislovníku
Kniha Integrování ve Wikiknihách
Online výpočet integrálu
Online integrační kalkulačka s postupem

[1] Věta pro Riemannův integrál a Lebesgueův integrál, V. I. Bogachev: Measure Theory, Springer. - http://web.science.upjs.sk/jozefdobos/wp-content/uploads/2012/04/nevlastny.pdf, slovensky

[1]