Vyjádříme-li meromorfní funkci
v okolí jejího izolovaného singulárního bodu
Laurentovou řadou (pro
), pak číslo
se nazývá reziduum funkce
v bodě
.
Na základě vyjádření koeficientů Laurentova rozvoje získáme
![{\displaystyle a_{-1}={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{c}f(z)\mathrm {d} z}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9DzDe0ajo4aDo5oDJAotdAzNG5oNzAoAdFnje0otlFatlEatw3oNzE)
Mějme jednoduchou konečnou po částech hladkou uzavřenou křivku
, která je kladně orientovaná vzhledem ke svému vnitřku
. Uvažujme funkci
, která je v
holomorfní s výjimkou konečného počtu singulárních bodů
a s výjimkou těchto bodů spojitá v
. Pak integrál
![{\displaystyle {\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{c}f(z)\mathrm {d} z}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO80zNa0nDGOzDe2zNi3nDeOyjw0nqvFythFnjo3ntm0aDi3aDK3ytm1)
je roven součtu reziduí funkce
v bodech
, tzn.
,
kde
označuje reziduum funkce
v bodě
.
Má-li meromorfní funkce f definovaná alespoň na okolí D = {z: 0 < |z-c| < R, R > 0} v bodě c pól prvního řádu, potom je reziduum určeno jako:
![{\displaystyle \operatorname {Res} \left[f\right]_{z=c}=\lim _{z\to c}(z-c)f(z),}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO81aDo3nDvByqo0ztBFotmOaqrCo2hBzDCQzAnCnts3zjaOytaPnDrF)
nebo přímo použitím reziduové věty
![{\displaystyle \operatorname {Res} \left[f\right]_{z=c}={1 \over 2\pi i}\int _{\gamma }f(z)\,dz}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO82ytvCzjdBnjvDzAvAztC5nqs0ngs2zthAaNe4ngdAo2sNztJAoDm5)
kde kladně orientovaná křivka γ tvoří kruh kolem c o poloměru ε, kde ε je libovolně malé.
Reziduum funkce f(z)=g(z)/h(z) mající v c pól prvního řádu, kde g a h jsou holomorfní funkce v okolí c a zároveň h(c) = 0, g(c) ≠ 0, je dáno jako
![{\displaystyle \operatorname {Res} \left[f\right]_{z=c}={\frac {g(c)}{h'(c)}}.}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9Dzga4nDGOyjaNnAhBajwQntmNajFAzti5aji1aDmPaqzFaDe2nqvF)
Obecněji je reziduum funkce f v bodě z = c mající v c pól řádu n vyjádřeno jako:
![{\displaystyle \operatorname {Res} \left[f\right]_{z=c}={\frac {1}{(n-1)!}}\cdot \lim _{z\to c}\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\right)^{n-1}\left(f(z)\cdot (z-c)^{n}\right).}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9BzqzFatvAztGOoNrFngrDzNJEagwPztdFzje3aDm3a2aOoqw0aDJD)
Může-li být f holomorfně rozšířena na celý disk { z : |z − c| < R }, potom Res[f]z=c = 0. Opačné tvrzení obecně neplatí.