Gemischter Binomial-Prozess

Als gemischte Binomial-Prozesse bezeichnet man eine spezielle Klasse von Punktprozessen in der Theorie der stochastischen Prozesse, einem Teilgebiet der Wahrscheinlichkeitstheorie. Gemischte Binomial-Prozesse sind Verallgemeinerungen von Binomial-Prozessen in dem Sinne, als dass bei ihnen nicht eine deterministische Anzahl von Zufallsvariablen betrachtet wird, sondern eine zufällige.

Definition

Gegeben sei ein Messraum $(S,{\mathcal {A}})$ sowie unabhängig, identisch verteilte Zufallsvariablen $X_{1},X_{2},X_{3},\dots$ mit Werten in $S$. Des Weiteren sei $Y$ eine weitere Zufallsvariable, die unabhängig von allen $X_{i}$ ist und fast sicher Werte in $\mathbb {N}$ annimmt. Es bezeichne $\delta _{x}$ das Dirac-Maß auf dem Punkt $x$, also

$\delta _{x}(A):={\begin{cases}1&{\text{ falls }}x\in A\ \\0&{\text{ sonst }}\end{cases}}$

für $A\in {\mathcal {A}}$.

Dann heißt das durch

$\zeta :=\sum _{i=1}^{Y}\delta _{X_{i}}$

definierte zufällige Maß $\zeta$ auf $(S,{\mathcal {A}})$ ein gemischter Binomial-Prozess. Ist $P$ die Verteilung der $X_{i}$, also $X_{i}\sim P$, so heißt $\zeta$ auch der durch $Y$ und $P$ gegebene gemischte Binomial-Prozess.

Eigenschaften

Intensitätsmaß und Verteilung

Für jede messbare Menge $A$ ist $\zeta (A)$ eine binomialverteilte Zufallsvariable mit Parametern $Y$ und $P(A)$. Es gilt also

$\zeta (A)\sim \operatorname {Bin} _{Y,P(A)}$.

Ist $\operatorname {E} (Y)<\infty$ und sind die $X_{i}$ integrierbar, so gilt nach der Formel von Wald

$\operatorname {E} (\zeta (A))=\operatorname {E} (Y)\operatorname {E} (\delta _{X_{i}}(A))=\operatorname {E} (Y)P(A)$.

Hierbei ist $\delta _{X_{i}}$ wieder also zufälliges Maß zu sehen. Somit ist das Intensitätsmaß $\operatorname {E\zeta }$ eines gemischten Binomial-Prozesses $\zeta$ in diesem Fall durch

$\operatorname {E\zeta } =\operatorname {E} (Y)P$

gegeben.

Beziehung zum Binomial-Prozess

Nimmt die Zufallsvariable $Y$ fast sicher den Wert $n$ an, so geht der gemischte Binomialprozess in einen Binomial-Prozess über, der durch $n$ und die Verteilung von $X_{i}$ bestimmt wird.

Laplace-Transformierte

Die Laplace-Transformation eines gemischten Binomial-Prozesses gegeben $Y=k$ ist gegeben durch

${\mathcal {L}}_{P,n}(f)=\left[\int \exp(-f(x))\mathrm {P} (dx)\right]^{k}$

für alle messbaren positiven Funktionen $f$.

Literatur

• Olav Kallenberg: Random Measures, Theory and Applications. Springer, Switzerland 2017, doi:10.1007/978-3-319-41598-7.