Σ-Endlichkeit
Der Begriff der -Endlichkeit (auch -Finitheit) wird in der mathematischen Maßtheorie verwendet und liefert eine Abstufung von (messbaren) Mengen von unendlichem Maß in -endliche und nicht -endliche Mengen. Er wird aus ähnlichen Gründen eingeführt wie der Begriff der Abzählbarkeit bezüglich der Anzahl von Elementen einer Menge.
Definition
Ein positives Maß , definiert auf einer -Algebra auf einer Menge . Dieser Maßraum heißt -endlich, wenn es abzählbar viele messbare Mengen mit endlichem Maß, das heißt gibt, deren Vereinigung ist. Eine Menge, für die der Maßraum eingeschränkt auf diese -endlich ist, heißt -endliche Menge.
Die Definition lässt sich auf signierte Maße ausweiten: Ein signiertes Maß heißt -endlich, wenn -endlich ist.
Anwendung
Nicht endliche Maße können pathologische Eigenschaften aufweisen, jedoch sind viele der häufig betrachteten Maße nicht endlich. Die Klasse der -endlichen Maße teilt mit den endlichen Maßen einige angenehme Eigenschaften, -Endlichkeit kann in dieser Hinsicht mit der Separabilität von topologischen Räumen verglichen werden. Einige Sätze der Analysis, wie der Satz von Radon-Nikodym und der Satz von Fubini, gelten zum Beispiel nicht mehr für nicht -endliche Maße (mitunter ist jedoch eine Übertragung auf allgemeinere Fälle möglich, indem man den Satz für alle -endlichen Teilräume anwendet).
Beispiele
- Das Lebesgue-Maß auf den reellen Zahlen ist nicht endlich, aber -endlich. Denn betrachtet man die Intervalle für alle ganzen Zahlen , so hat jedes Intervall das Maß 1, und ist deren Vereinigung.
- Ist eine lokalkompakte topologische Gruppe -kompakt, so ist ihr Haarmaß -endlich.
Inhalte und Prämaße
Völlig analog spricht man auch auf Halbringen von -endlichen Inhalten und Prämaßen. Nach dem Maßerweiterungssatz von Carathéodory ist jedes -endliche Prämaß auf einem Halbring eindeutig zu einem Maß auf der erzeugten -Algebra fortsetzbar (ohne -Endlichkeit folgt nicht die Eindeutigkeit).
Literatur
- Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. Springer, Berlin 1996, ISBN 3-540-15307-1.