Přeskočit na obsah

σ-konečná míra

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

σ-konečná míra je v teorii míry označení takové míry, která je definována na σ-algebře tvořené podmnožinami množiny , přičemž platí, že lze vyjádřit jako spočetné sjednocení množin o konečné míře.

Formální definice

[editovat | editovat zdroj]

Nechť je měřitelný prostor s mírou . Pak se nazývá σ-konečná, pokud splňuje jednu z následujících čtyř ekvivalentních podmínek:

  1. Množinu je možno pokrýt spočetnou množinou měřitelných množin o konečné míře. Tedy existují množiny , kde pro všechna a přitom
  2. Množinu je možno pokrýt spočetnou množinou navzájem disjunktních množin o konečné míře. Tedy existují , kde a a pro , které splňují .
  3. Množinu je možno pokrýt monotónní posloupností měřitelných množin o konečné míře. Tedy existují množiny s splňující pro všechna , přičemž platí .
  4. Existuje kladná měřitelná funkce , jejíž integrál je konečný, tedy: pro všechna a

V tomto článku byl použit překlad textu z článku σ-finite measure na anglické Wikipedii.


Literatura

[editovat | editovat zdroj]
  • LUKEŠ, Jaroslav; MALÝ, Jan. Míra a integrál. Praha: Karolinum, 2002. ISBN 80-246-0543-0. Kapitola A. Míra a měřitelné funkce.