Borel-Isomorphie

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Als Borel-Isomorphie wird eine Beziehung zwischen zwei Messräumen in der Maßtheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, bezeichnet. Sind zwei Messräume Borel-isomorph, so sind sie aus maßtheoretischer Sicht sehr ähnlich und erlauben es, Argumentationen und Strukturen von dem einen Raum auf den anderen Raum zu übertragen.

Definition

Gegeben seine zwei Messräume $(S,{\mathcal {B}}(S)),(T,{\mathcal {B}}(T))$, wobei als σ-Algebra jeweils die entsprechende Borelsche σ-Algebra gewählt sei.

Dann heißen die beiden Messräume Borel-Isomorph, wenn es eine Funktion

$f\colon (S,{\mathcal {B}}(S))\to (T,{\mathcal {B}}(T))$

gibt, die folgende Eigenschaften besitzt:

• $f$ ist bijektiv
• $f$ ist bimessbar

Dabei heißt eine Funktion $f$ bimessbar, wenn sowohl $f$ als auch die Umkehrfunktion $f^{-1}$ messbar sind.

Definition

Gegeben seien die reellen Zahlen $\mathbb {R}$, versehen mit ihrer Borelschen σ-Algebra ${\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$. Für eine Menge $B\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$ bezeichne ${\mathcal {B}}(\mathbb {R} )|_{B}$ die Spur-$\sigma$-Algebra, also die Einschränkung von ${\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$ auf die Menge $B$.

Dann heißt ein Messraum $(X,{\mathcal {A}})$ ein Borel-Raum, falls eine Menge $B\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$ und eine Funktion

$f\colon (X,{\mathcal {A}})\to (B,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} )|_{B})$

existiert, so dass $f$ bijektiv und bimessbar ist. (Eine Funktion heißt bimessbar, wenn sie und ihre Umkehrfunktion messbar sind)

Borel-Räume sind somit Borel-isomorph zu einer messbaren Teilmenge der reellen Zahlen.