„Borel-Isomorphie“ – Versionsunterschied
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Als '''Borel-Isomorphie''' wird eine Beziehung zwischen zwei [[Messraum (Mathematik)|Messräumen]] in der [[Maßtheorie]], einem Teilgebiet der Mathematik, bezeichnet. Sind zwei Messräume Borel-isomorph, so sind sie aus maßtheoretischer Sicht sehr ähnlich und erlauben es, Argumentationen und Strukturen von dem einen Raum auf den anderen Raum zu übertragen. |
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Gegeben seine zwei [[Messraum (Mathematik)|Messräume]] <math> (S, \mathcal B(S)), (T, \mathcal B(T)) </math>, wobei als [[σ-Algebra]] jeweils die entsprechende [[Borelsche σ-Algebra]] gewählt sei. |
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Dann heißen die beiden Messräume Borel-Isomorph, wenn es eine Funktion |
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:<math> f \colon (S, \mathcal B(S)) \to (T, \mathcal B(T)) </math> |
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gibt, die folgende Eigenschaften besitzt: |
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* <math> f </math> ist [[bijektiv]] |
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* <math> f </math> ist [[Bimessbare Funktion|bimessbar]] |
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Dabei heißt eine Funktion <math> f </math> bimessbar, wenn sowohl <math> f </math> als auch die [[Umkehrfunktion]] <math> f^{-1} </math> [[messbare Funktion|messbar]] sind. |
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Version vom 30. Dezember 2017, 12:15 Uhr
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Als Borel-Isomorphie wird eine Beziehung zwischen zwei Messräumen in der Maßtheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, bezeichnet. Sind zwei Messräume Borel-isomorph, so sind sie aus maßtheoretischer Sicht sehr ähnlich und erlauben es, Argumentationen und Strukturen von dem einen Raum auf den anderen Raum zu übertragen.
Definition
Gegeben seine zwei Messräume , wobei als σ-Algebra jeweils die entsprechende Borelsche σ-Algebra gewählt sei.
Dann heißen die beiden Messräume Borel-Isomorph, wenn es eine Funktion
gibt, die folgende Eigenschaften besitzt:
Dabei heißt eine Funktion bimessbar, wenn sowohl als auch die Umkehrfunktion messbar sind.
Definition
Gegeben seien die reellen Zahlen , versehen mit ihrer Borelschen σ-Algebra . Für eine Menge bezeichne die Spur--Algebra, also die Einschränkung von auf die Menge .
Dann heißt ein Messraum ein Borel-Raum, falls eine Menge und eine Funktion
existiert, so dass bijektiv und bimessbar ist. (Eine Funktion heißt bimessbar, wenn sie und ihre Umkehrfunktion messbar sind)
Borel-Räume sind somit Borel-isomorph zu einer messbaren Teilmenge der reellen Zahlen.