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Méthode du point médian

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En analyse numérique, la méthode du point médian est une méthode permettant de réaliser le calcul numérique d'une intégrale

Le principe est d'approcher l'intégrale de la fonction par l'aire d'un rectangle de base de segment et de hauteur , ce qui donne :

Cette aire est aussi celle du trapèze de base et dont le côté opposé est tangent au graphe de en , ce qui explique sa relative bonne précision.

Pour une fonction à valeurs réelles, deux fois continûment différentiable sur le segment , l'erreur commise est de la forme

pour un certain .

Démonstration

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Soit une primitive de sur l'intervalle , on peut appliquer le théorème de Taylor-Lagrange à la fonction à l'ordre 2 entre les points et . Pour tout il existe tel que

en particulier en prenant puis , il existe tel que

et

En soustrayant les deux égalités on obtient :

Le théorème des valeurs intermédiaires garantit alors l’existence d'un réel telle que .

Sur une subdivision de l'intervalle

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En découpant l'intervalle en segments de même longueur et en appliquant la formule précédente sur chacun des petits segments pour on obtient

avec

En sommant sur on obtient

L'erreur est deux fois plus petite que celle donnée par la méthode des trapèzes.

Cette méthode est un cas des formules de Newton-Cotes, où le polynôme d'interpolation est de degré . Elle est exacte pour les polynômes de degré inférieur ou égal à .