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Méthodes de Runge-Kutta

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Pentes utilisées lors d'une méthode de Runge-Kutta
La courbe bleue est la solution exacte de l'équation différentielle. Les flèches rouges symbolisent les pentes utilisées impliquées dans une méthode de Runge-Kutta. La solution approchée est représentée en vert.

Les méthodes de Runge-Kutta sont des méthodes d'analyse numérique d'approximation de solutions d'équations différentielles. Elles ont été nommées ainsi en l'honneur des mathématiciens Carl Runge et Martin Wilhelm Kutta, lesquels élaborèrent la méthode en 1901.

Ces méthodes reposent sur le principe de l'itération, c'est-à-dire qu'une première estimation de la solution est utilisée pour calculer une seconde estimation, plus précise, et ainsi de suite.

Premiers exemples

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Pour donner l'idée générale des méthodes de Runge-Kutta, on commence par donner une idée de la méthode sur quelques exemples de méthodes de Runge-Kutta avant de considérer le cas général. Soit le problème suivant :

où la fonction f est connue, et y est une fonction de t inconnue. On cherche les valeurs de y lorsque t varie dans un ensemble discret t0 < t1 < ... < tN.

En intégrant ce système, on montre que vérifie les relations suivantes :

va désigner le pas entre deux approximations. Dans l'égalité précédente, l'intégrale n'est pas calculable car la fonction n'est a priori pas connue. L'idée est de remplacer cette intégrale par un calcul approché.

En considérant une interpolation linéaire utilisant les points et , on déduit grâce à la méthode des trapèzes :

Ainsi, en notant les valeurs approchant , on déduit la relation suivante :

.

En l'état, la méthode est appelée méthode de Crank-Nicolson. L'inconvénient est que pour calculer à partir de , une équation non-linéaire doit être résolue à chaque fois : la méthode est implicite. Une alternative est d'utiliser un premier calcul approché pour estimer le terme , noté , dans le membre de droite puis d'avancer dans le calcul. C'est ce qui est fait dans le schéma de Heun :

Ainsi, est calculé immédiatement à partir de , la méthode est explicite.

Dans les deux cas, il s'agit ici de l'idée des méthodes de Runge-Kutta : calculer à partir de en passant par des approximations intermédiaires à des temps compris dans . La suite générée contient les approximations de .

Principe général

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On revient au cas général, à savoir la résolution du problème :

que l'on va chercher à résoudre en un ensemble discret t0 < t1 < ... < tN. Comme une solution explicite n'est pas toujours disponible, les méthodes de Runge-Kutta permettent de déterminer une solution approchée aux points . Dans la suite, on notera la solution approchée au temps et la valeur exacte.

Il faut donc introduire les points intermédiaires . Il s'agit de solutions approchées intermédiaires utilisées pour calculer par récurrence les valeurs (tn , yn) avec

est le pas de temps et ci est dans l'intervalle [0 ; 1].

Pour chaque point intermédiaire, on note la pente correspondante

Ainsi, pour une solution exacte du problème, on a

On calculera ces intégrales par une méthode de quadrature, qu'on peut choisir différentes pour deux valeurs distinctes de i:

calculées ici pour g(u) = f(tn + u hn, y(tn + u hn)).

La méthode de Runge-Kutta à q étapes est donnée par :

Tableau de Butcher

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Les informations de la méthode sont souvent résumées par le tableau des différents poids de quadrature, appelé tableau de Butcher :

La consistance de la méthode est garantie si . Dans ce cas, la précision de la méthode est améliorée en diminuant le pas.

Soit la matrice . On peut établir les remarques suivantes[1] :

  • Si est triangulaire inférieure stricte alors la méthode est dite explicite et les calculs sont explicites. En effet, dans ce cas, le calcul de ne fait intervenir que les approximations avec et . Aucune équation n'est à résoudre pour calculer l'itérée suivante.
  • Si n'est pas triangulaire inférieure stricte alors la méthode nécessite de résoudre des équations pour calculer à partir de . La méthode est implicite. Les méthodes implicites sont généralement plus lourdes en calculs.

Consistance

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Définition

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L'erreur de consistance relative[2] désigne l'erreur réalisée par une unique itération de la méthode de Runge-Kutta. On la note et on a[3]: avec et sous l'hypothèse .

L'erreur de consistance relative désigne l'erreur réalisée sur une seule itération. En pratique, on va répéter une succession d'itérations et les erreurs vont se cumuler. Pour cette raison, on dit qu'une méthode est consistante si

avec .

Plus précisément et comme une conséquence des définitions ci-dessus, on dit qu'une méthode (avec un pas constant ) est consistante d'ordre si . Dans ce cas, on a

L'ordre de consistance est l'une des propriétés fondamentales d'un schéma de Runge-Kutta.

Par exemple, on considère la méthode d'Euler avec un pas constant , on a:

.

En notant que et grâce aux développement de Taylor, on montre que . Donc la méthode est d'ordre 1 et consistante.

A cause de l'erreur effectuée par la méthode numérique, la valeur est entachée d'une erreur notée (erreurs d'arrondis, erreur de consistance, ...). La propagation de ces erreurs doit rester contrôlable. Cette propriété est liée à la stabilité de la méthode[2].

Supposons que f est k-lipschitzienne en y. Soit Les méthodes de Runge-Kutta sont stables sur [0,T], avec pour constante de stabilité eΛT, avec

Pour les exemples ci-dessous, seul le cas d'un pas de discrétisation constant est considéré : pour tout , on a

La méthode de Runge-Kutta explicite d'ordre 1 (RK1)

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Cette méthode est équivalente à la méthode d'Euler Explicite, une méthode simple de résolution d'équations différentielles du premier degré.

Considérons le problème suivant :

La méthode RK1 utilise l'équation

h est le pas de l'itération.

Le problème s'écrit sous forme du tableau de Butcher suivant :

Schéma prédicteur-correcteur explicite (RK2)

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La méthode du point milieu est une composition de la méthode d'Euler :

h est le pas de l'itération.

Elle consiste à estimer la dérivée au milieu du pas d'intégration :

et à refaire le pas d'intégration complet à partir de cette estimation :

Ce schéma est couramment appelé schéma prédicteur-correcteur explicite.

C'est le cas particulier pour α = 1/2 de la méthode plus générale :

On reconnaît ainsi que la méthode de quadrature utilisée pour les temps intermédiaires est celle du point milieu.

C'est une méthode d'ordre 2 car l'erreur est de l'ordre de h3.

Une alternative à la méthode précédente est la méthode de Heun, correspondant au cas α = 1. La méthode de quadrature repose sur la méthode des trapèzes.

La méthode de Crank-Nicholson

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La méthode de Crank-Nicholson est une méthode implicite déduite de la formule des trapèzes pour la quadrature. Elle s'énonce de la façon suivante :

Le tableau de Butcher associé est :

C'est une méthode d'ordre 2: l'erreur est de l'ordre de h3.

La méthode de Runge-Kutta classique d'ordre quatre (RK4)

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C'est un cas particulier d'usage très fréquent, noté RK4.

Considérons le problème suivant :

La méthode RK4 est donnée par l'équation :

L'idée est que la valeur suivante (yn+1) est approchée par la somme de la valeur actuelle (yn) et du produit de la taille de l'intervalle (h) par la pente estimée. La pente est obtenue par une moyenne pondérée de pentes :

  • k1 est la pente au début de l'intervalle ;
  • k2 est la pente au milieu de l'intervalle, en utilisant la pente k1 pour calculer la valeur de y au point tn + h/2 par le biais de la méthode d'Euler ;
  • k3 est de nouveau la pente au milieu de l'intervalle, mais obtenue cette fois en utilisant la pente k2 pour calculer y ;
  • k4 est la pente à la fin de l'intervalle, avec la valeur de y calculée en utilisant k3.

Dans la moyenne des quatre pentes, un poids plus grand est donné aux pentes au point milieu.

La méthode RK4 est une méthode d'ordre 4, ce qui signifie que l'erreur commise à chaque étape est de l'ordre de h5, alors que l'erreur totale accumulée est de l'ordre de h4.

Ces formules sont aussi valables pour des fonctions à valeurs vectorielles.

Solutions numériques de (avec ) obtenue par différentes méthodes de Runge-Kutta et comparées à la solution exacte. Le pas est . On note que l'ordre de précision de la méthode est lié à l'erreur : la méthode d'Euler Explicite a une erreur nettement plus importante que celle de RK4.

La méthode de Runge-Kutta d'ordre quatre avec dérivée seconde

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Dans le cas d'une équation différentielle ordinaire d'ordre 2 de la forme :

on peut décomposer le problème en un système d'équations :

On se ramène alors à un système d'équations différentielles du premier ordre de la forme

Le système peut être résolu numériquement en utilisant une méthode de Runge-Kutta. Par exemple, en appliquant la méthode RK4 à chacune de ces équations, puis en simplifiant on obtient[4] :

On en déduit yn + 1 et y'n + 1 grâce à:

La méthode peut être étendue à des équations différentielles ordinaires d'ordre supérieur.

Références

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  1. (en) J. C. Butcher, Numerical Methods for Ordinary Differential Equations, J. Wiley, , 440 p. (ISBN 978-0-471-96758-3), p. 86-92
  2. a et b Jean-Pierre Demailly, Analyse numérique et équations différentielles, Collection Grenoble Sciences, , 309 p. (ISBN 978-0-471-96758-3), p. 211-213
  3. Jean-Pierre Demailly, Analyse numérique et équations différentielles [détail des éditions]
  4. « Help with using the Runge-Kutta 4th order method on a system of 2 first order ODE's. »

Articles connexes

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Liens externes

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