卡茨-穆迪代數是一個李代數,通常無限維,其定義自(Victor Kac所謂的)廣義根系。卡茨-穆迪代數的應用遍及數學和理論物理學。
假定以下材料:
——一個r階廣義嘉當矩陣(generalised Cartan matrix)
r.
———— 一個 2n − r維複向量空間
.
————
的對偶空間
————
中 n 枚相互獨立的元,稱為對偶根(co-root)
————
中n 枚線性相互獨立的元 ,稱為根(root)
- 上述各元滿足
.
卡茨-穆迪代數
由符號
,
(i=1,..,n) 及空間
生成:
以上各元滿足以下關係:
![{\displaystyle [e_{i},f_{i}]=\alpha _{i}.\ }](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8OaAa3njo0oDs0zgdBoAeOzgo3ytBEaDi2nAi2ngs2nAvByqs2nDi3)
;其中 ![{\displaystyle i\neq j.}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO81zAnDyto3yjeOnAwNygrDaDwQzAe0z2a4zDvDoqoQaNlAoDmOngiO)
, 其中![{\displaystyle x\in {\mathfrak {h}}.}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9AzjaNztFEntGOoDoQaqnAzqnCzjC4nAi2zjoQyjGQnjsQztm4ajrD)
, 其中 ![{\displaystyle x\in {\mathfrak {h}}.}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9AzjaNztFEntGOoDoQaqnAzqnCzjC4nAi2zjoQyjGQnjsQztm4ajrD)
;其中 ![{\displaystyle x,x'\in {\mathfrak {h}}.}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO85aDm1oDwOaNrEaAwOate4zNdCzgo2aga5zjC2ote2aqnCoAiNzgw5)
;其中
出現
次;
;其中
出現
次;
(其中
.)
一個 實(維數可以無限)李代數亦可稱為 Kac–Moody代數,若其 複化 是個 Kac–Moody代數.
是此卡茨-穆迪代數的一嘉當子代數。
- 若 g 是 Kac–Moody 代數的一元,使得
![{\displaystyle \forall x\in {\mathfrak {h}}\,[g,x]=\omega (x)g}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO82nji2zDw3otnEaqi4zNFDygo4aNe1otzAzjiNnqs5yjs0nDG2a2nE)
其中 ω 是
的一元,
則稱g 為 權(weight) ω的. 我們可分解一Kac–Moody 代數成其冪空間,則嘉當子代數
的冪為零,ei的冪為α*i,而fi的冪為−α*i。若二冪特徵向量的李括號非零,則其冪是二冪之和。(若
) 則
一條件即指 α*i 都是簡單根。
我們可分解廣義嘉當矩陣 C 成矩陣積 DS, 其中 D 是 正對角矩陣, S 是 對稱矩陣。
然則有三種可能:
有限維 單李代數 (S 正定)
是 仿射李代數 (S 正半定)
- 雙曲 (S 不定)
S 不可能 負定 或 負半定 因其對角元皆正.
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| 基本對象 | | |
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| 背景理論 | |
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| 微擾弦理論 | |
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| 非微擾結果 | |
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| 現象學 | |
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| 數學方法 | |
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| 幾何 | |
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| 規範場論 | |
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| 超對稱 | |
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| 理論家 | |
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