外尔特徵標公式(Weyl's character formula) 描述緊李羣不可約表示的特徵標。其名來自證明者赫尔曼·外尔。
定義:羣G的表示r的特徵標為一函數
,
,其中Tr 為線性算子之迹。 (由彼得-外尔定理 可知緊李羣的任何不可約表示都是有限維的;故迹之定義為線性代數中之定義。)
特徵標 χ 記住了表示 r 本身的重要訊息。 外尔特徵標公式用羣G的其他資料來表達 χ 。 本文考慮複表示,不失一般亦設其為酉表示,因而「不可約」亦等價於「不可分解」(即非二子表示之直和)。
緊李羣G 之不可約表示之特徵標符合下式:
![{\displaystyle {\sum _{w\in W}(-1)^{\det(w)}w(e^{\lambda +\rho }) \over e^{\rho }\prod _{\alpha >0}(1-e^{-\alpha })}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8QntwNaNBFyga3ntJBaAhFnDiPoNdEoAsQataNzNmQatGOnjKOoqe3)
其中
外尔分母公式[编辑]
在 1 維表示的特例中,特徵標為 1, 而外尔特徵標公式簡化成 外尔分母公式:
![{\displaystyle {\sum _{w\in W}(-1)^{\det(w)}w(e^{\rho })=e^{\rho }\prod _{\alpha >0}(1-e^{-\alpha })}.}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8OzjKQztdFygi4aja1atm5oAw4oDsQyjnBaDi3zNnBotnBzAs2ntrC)
若G為特殊么正羣,則簡化成范德蒙行列式的等式:
。
外尔維度公式[编辑]
若只考慮單位元1之迹,則外尔特徵標公式 特殊化成 外尔維數公式
,
![{\displaystyle \dim(V_{\Lambda })={\prod _{\alpha >0}(\Lambda +\rho ,\alpha ) \over \prod _{\alpha >0}(\rho ,\alpha )}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9Cagi2aqrCzqnBzAzFnqe5o2i4aqnCaAeOoAhCyti5ntJBoNJCoNoO)
其中
- VΛ為有限維表示,其最高權為Λ;
- ρ為外尔向量,
- α 遍歴所有正根。
由於式中分子與分母俱為高階零,故必須取G中之元素漸近單位元1時之極限。
Freudenthal 公式[编辑]
Hans Freudenthal發現了權重數符合之一遞歸公式。此公式等價於外尔特徵標公式,而在某些情況下更簡便。式曰:
;
其中
- Λ 為一最高權,
- λ 為另一權,
- dim Vλ 為權λ 之重數,
- ρ 為外尔向量,
- 外和中之 α 歴遍所有正根。
外尔-Kac 特徵標公式[编辑]
外尔特徵標公式 亦適用於卡茨-穆迪代数之可積最高權表示 ——外尔-Kac 特特徵標公式。同樣地,分母恆等式亦可推廣至卡茨-穆迪代数,其在仿射李代數之特例成為Macdonald 恆等式。其在 A1 仿射李代數之例成為經典的 雅可比三重乘積恆等式:
![{\displaystyle \prod _{m=1}^{\infty }\left(1-x^{2m}\right)\left(1-x^{2m-1}y\right)\left(1-x^{2m-1}y^{-1}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}x^{n^{2}}y^{n}.}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9FnDJAa2iQoqi4atG1zqsNoqeQntC0yjG4o2dFaji4zqsOaje0ytzF)
此特徵公式可推廣至广义卡茨-穆迪代数之可積最高權表示:
![{\displaystyle {\sum _{w\in W}(-1)^{\det(w)}w(e^{\lambda +\rho }S) \over e^{\rho }\prod _{\alpha >0}(1-e^{-\alpha })}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9BaDdBaDrFzgrEzNKNatrAothDoAeQaDCQaDiNyje3ntvFajCNyqo5)
其中 S 為一修正項:
![{\displaystyle S=\sum _{I}(-1)^{|I|}e^{\Sigma I}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9DoDC3aje1nto5nDoNzDhBaNdBoAoPagaQajhEytm1nji1aDlBnji4)
其中 I歴遍虚簡單根集內 所有與最高權
正交、且互相正交之有限子集;|I| 集 I 之基數,而 ΣI為集 I 內元素之和。
而Monster 李代數之 分母公式 則為椭圓模函數j之積公式:
。
Peterson 發現了(廣義)可對稱化卡茨-穆迪代数之根重數 mult(β) 遞歸公式。此公式等價於外尔-卡茨分母公式,但更便於計算:
,
其中γ 與 δ 遍歴所有正根,而
。