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笛卡兒葉形線

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a=1

笛卡爾葉形線是一個代數曲線,首先由笛卡兒在1638年提出。笛卡兒葉形線的隱式方程為:

極坐標中的方程為:

這個名字來自 拉丁文folium ,意思是 "leaf"(葉子)。

曲線的特徵

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切線的方程

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利用隱函數的求導法則,我們可以求出y':

利用直線的點斜式方程,我們可以求出點處的切線方程:

水平和豎直切線

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時,笛卡兒葉形線的切線是水平的。所以:

時,笛卡兒葉形線的切線是豎直的。所以:

這可以通過曲線的對稱來解釋。我們可以看到,曲線有兩條水平切線和兩條豎直切線。笛卡兒葉形線關於對稱,所以如果水平切線有坐標的話,則一定有一個對應的豎直切線,坐標為

漸近線

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曲線有一條漸近線

這個漸近線的斜率是-1,x截矩和y截矩都是-a。

參考文獻

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  • Beyer, W. H. CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press, p. 218, 1987.
  • Gray, A. Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica, 2nd ed. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 77-82, 1997.
  • Lawrence, J. D. A Catalog of Special Plane Curves. New York: Dover, pp. 106-109, 1972.
  • MacTutor History of Mathematics Archive. "Folium of Descartes." http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Curves/Foliumd.html頁面存檔備份,存於網際網路檔案館).
  • Stroeker, R. J. "Brocard Points, Circulant Matrices, and Descartes' Folium." Math. Mag. 61, 172-187, 1988.
  • Yates, R. C. "Folium of Descartes." In A Handbook on Curves and Their Properties. Ann Arbor, MI: J. W. Edwards, pp. 98-99, 1952.