刚体

在物理学裏，理想刚体（rigid body）是一種有限尺寸，可以忽略形变的固体。不论是否感受到外力，在刚体內部，点与点之间的距离都不会改变。根據相對論，這種物體不可能實際存在，但物體通常可以假定為完美剛體，前提是必須滿足運動速度超小於光速的條件。

在经典力学裡，刚体通常被认为是连续质量分佈体；在量子力学裏，刚体被認為是一群粒子的聚集。例如，分子（由假定為質點的电子与核子组成）时常會被视为刚体（請参阅條目分子的分类为刚性转子（classification of molecules as rigid rotors））。

运动学

位置與定向

剛體是由一群數量超多的粒子組成。實際而言，不可能精確地追蹤其中每一個粒子的運動。為了簡化運算，可以利用剛體的剛性，即其內部所有粒子彼此之間距離不變的性質。假若物體具有剛性，則倚靠設定三個不同線粒子的位置，就足以設定此物體的位置。這意味著，在三維空間裏，剛體至多只有九個自由度，但由於假定三個粒子之間的距離固定不變，所以，剛體只有六個自由度。假設還有其它約束，例如，剛體的運動必需繞著其內部一點旋轉，或繞著其內部一直軸旋轉，則自由度會小於六。

關於其它任意粒子P的位置，只要知道粒子P與上述三個粒子之中的任意一個粒子的相對位置，就可以重建這粒子的位置。通常，整個剛體的空間組態可以簡易地以以下參數設定：

剛體的「位置」：挑選剛體內部一點G來代表整個剛體，通常會設定物體的質心或形心為這一點。從空間參考系S觀測，點G的位置就是整個剛體在空間的位置。表示位置可以應用向量的概念。向量的起點為參考系S的原點，終點為點G。設定剛體的位置需要三個坐標，例如，採用直角坐標系，這三個坐標為x-坐標、y-坐標、z-坐標。這用掉了三個自由度。
剛體的定向：描述剛體定向的方法有好幾種，包括方向餘弦、歐拉角、四元數等等。這些方法設定一個附體參考系B的定向（相對於空間參考系S）。附體參考系是固定於剛體的參考系。相對於剛體，附體參考系的定向固定不變。由於剛體可能會呈加速度運動，所以附體參考系可能不是慣性參考系。空間參考系是某設定慣性參考系，例如，在觀測飛機的飛行運動時，附著於飛機場控制塔的參考系可以設定為空間參考系，而附著於飛機的參考系則可設定為附體參考系。剛體的定向需要用到另外三個自由度。

方向餘弦

方向餘弦方法可以用來設定，附體參考系B的定向，從而設定剛體的定向。假設沿著參考系S的坐標軸的三個單位向量分別為 ${\hat {\mathbf {x} }}_{1}$ 、 ${\hat {\mathbf {x} }}_{2}$ 、 ${\hat {\mathbf {x} }}_{3}$ ，沿著參考系B的坐標軸的三個單位向量分別為 ${\hat {\mathbf {e} }}_{1}$ 、 ${\hat {\mathbf {e} }}_{2}$ 、 ${\hat {\mathbf {e} }}_{3}$ 。定義 ${\hat {\mathbf {e} }}_{i}$ 與 ${\hat {\mathbf {x} }}_{j}$ 之間的方向餘弦 $a_{ij}$ 為

a_{ij}\ {\stackrel {def}{=}}\ \cos {(\theta _{ij})}

；

其中， $\theta _{ij}$ 是 ${\hat {\mathbf {e} }}_{i}$ 與 ${\hat {\mathbf {x} }}_{j}$ 之間的夾角。

${\hat {\mathbf {e} }}_{1}$ 、 ${\hat {\mathbf {e} }}_{2}$ 、 ${\hat {\mathbf {e} }}_{3}$ 與 ${\hat {\mathbf {x} }}_{1}$ 、 ${\hat {\mathbf {x} }}_{2}$ 、 ${\hat {\mathbf {x} }}_{3}$ 之間的關係分別為

{\hat {\mathbf {e} }}_{1}=\cos {(\theta _{11})}{\hat {\mathbf {x} }}_{1}+\cos {(\theta _{12})}{\hat {\mathbf {x} }}_{2}+\cos {(\theta _{13})}{\hat {\mathbf {x} }}_{3}=a_{11}{\hat {\mathbf {x} }}_{1}+a_{12}{\hat {\mathbf {x} }}_{2}+a_{13}{\hat {\mathbf {x} }}_{3}

、

{\hat {\mathbf {e} }}_{2}=\cos {(\theta _{21})}{\hat {\mathbf {x} }}_{1}+\cos {(\theta _{22})}{\hat {\mathbf {x} }}_{2}+\cos {(\theta _{23})}{\hat {\mathbf {x} }}_{3}=a_{21}{\hat {\mathbf {x} }}_{1}+a_{22}{\hat {\mathbf {x} }}_{2}+a_{23}{\hat {\mathbf {x} }}_{3}

、

{\hat {\mathbf {e} }}_{3}=\cos {(\theta _{31})}{\hat {\mathbf {x} }}_{1}+\cos {(\theta _{32})}{\hat {\mathbf {x} }}_{2}+\cos {(\theta _{33})}{\hat {\mathbf {x} }}_{3}=a_{31}{\hat {\mathbf {x} }}_{1}+a_{32}{\hat {\mathbf {x} }}_{2}+a_{33}{\hat {\mathbf {x} }}_{3}

。

兩個參考系的坐標軸所形成的矩陣稱為「方向餘弦矩陣」 $A$ ：

A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}}

。

採用愛因斯坦求和約定，由於 ${\hat {\mathbf {e} }}_{i}=a_{ij}{\hat {\mathbf {x} }}_{j}$ ，給定方向餘弦矩陣 $A$ ，則可設定附體參考系B的定向，也就是剛體的定向。

反過來，經過一番運算，可以得到 ${\hat {\mathbf {x} }}_{j}=a_{ij}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}$ 。

給定位置向量 $\mathbf {r}$

\mathbf {r} =x_{1}{\hat {\mathbf {x} }}_{1}+x_{2}{\hat {\mathbf {x} }}_{2}+x_{3}{\hat {\mathbf {x} }}_{3}=e_{1}{\hat {\mathbf {e} }}_{1}+e_{2}{\hat {\mathbf {e} }}_{2}+e_{3}{\hat {\mathbf {e} }}_{3}

，

則 $\mathbf {r}$ 與 ${\hat {\mathbf {e} }}_{i}$ 的內積為

\mathbf {r} {\dot {\hat {\mathbf {e} }}}_{i}=e_{i}=a_{i1}x_{1}+a_{i2}x_{2}+a_{i3}x_{3}=a_{ij}x_{j}

。

方向餘弦矩陣 $A$ 可以將從空間參考系S觀測的位置坐標 $(x_{1},x_{2},x_{3})$ ，變換為從附體參考系B觀測的位置坐標 $(e_{1},e_{2},e_{3})$ ，因此又稱為「變換矩陣」。

變換矩陣 $A$ 也可以做反變換如下：

x_{j}=a_{ij}e_{i}

。

變換矩陣 $A$ 是一種正交矩陣，滿足「正交條件」

a_{ij}a_{ik}=\delta _{jk}

；

其中， $\delta _{jk}$ 是克羅內克函數。

注意到 $\theta _{ij}$ 與 $\theta _{ji}$ 不同，夾角 $\theta _{ji}$ 是 ${\hat {\mathbf {e} }}_{j}$ 與空間參考系S的坐標軸單位向量 ${\hat {\mathbf {x} }}_{i}$ 之間的夾角。變換矩陣 $A$ 通常不是對稱矩陣。

左圖顯示「主動變換」：參考軸不變，點P被旋轉角弧 $-\theta$ 成為點P'。右圖顯示「被動變換」：參考軸被旋轉角弧 $\theta$ ，而點P保持不變。

對於二維旋轉，變換矩陣 $A$ 可以視為旋轉矩陣。例如，將附體參考系B或剛體旋轉，從 ${\hat {\mathbf {e} }}_{1}$ 、 ${\hat {\mathbf {e} }}_{2}$ 、 ${\hat {\mathbf {e} }}_{3}$ 旋轉角弧 $\theta$ 成為 ${\hat {\mathbf {e} }}'_{1}$ 、 ${\hat {\mathbf {e} }}'_{2}$ 、 ${\hat {\mathbf {e} }}'_{3}$ ；其中， ${\hat {\mathbf {e} }}_{3}={\hat {\mathbf {e} }}'_{3}$ 。對於這旋轉，旋轉矩陣 $A$ 為

A={\begin{bmatrix}\cos {\theta }&\sin {\theta }&0\\-\sin {\theta }&\cos {\theta }&0\\0&0&1\end{bmatrix}}

。

參考軸 ${\hat {\mathbf {e} }}'_{i}$ 與 ${\hat {\mathbf {e} }}_{j}$ 之間的關係為

{\hat {\mathbf {e} }}'_{i}=a_{ij}{\hat {\mathbf {e} }}_{j}

。

換一方面，旋轉矩陣 $A$ 也可以視為將點P的位置向量 $\mathbf {r} =x_{i}{\hat {\mathbf {x} }}_{i}$ 旋轉角弧 $-\theta$ 成為點P'的位置向量 $\mathbf {r} '=x'_{i}{\hat {\mathbf {x} }}_{i}$ ：

x'_{i}=a_{ij}x_{j}

。

歐拉角

方向餘弦矩陣 $A$ 足以設定附體參考系B的定向。但是，矩陣 $A$ 有九個元素，而剛體只能供給三個自由度來做定向，因為這九個元素不是自變量（independent variable））。歐拉角的三個自變量可以用來設定剛體的定向。

相對於空間參考系S，附體參考系B的定向，可以用三個歐拉角來設定。參閱右圖。設定 xyz-軸為空間參考系S的坐標軸，XYZ-軸為附體參考系B的坐標軸。稱 xy-平面與 XY-平面的相交為交點線，用英文字母（N）代表。按照「zxz 順規」，歐拉角可以這樣定義：

$\alpha$ 是 x-軸與交點線之間的夾角，
$\beta$ 是 z-軸與Z-軸之間的夾角，
$\gamma$ 是交點線與X-軸之間的夾角。

每一個歐拉角的旋轉都對應於一個簡單的旋轉矩陣：

A_{\alpha }={\begin{bmatrix}\cos \alpha &\sin \alpha &0\\-\sin \alpha &\cos \alpha &0\\0&0&1\end{bmatrix}}

、

A_{\beta }={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \beta &\sin \beta \\0&-\sin \beta &\cos \beta \end{bmatrix}}

、

A_{\gamma }={\begin{bmatrix}\cos \gamma &\sin \gamma &0\\-\sin \gamma &\cos \gamma &0\\0&0&1\end{bmatrix}}

。

設定剛體定向的旋轉矩陣 $A$ 是由三個簡單旋轉矩陣 $A_{\alpha }$ 、 $A_{\beta }$ 、 $A_{\gamma }$ 共同合成：

A=A_{\gamma }A_{\beta }A_{\alpha }

。

單獨分開工作，每個矩陣各自代表一種旋轉。按照順序相乘，

最裏面的（最右的）矩陣代表繞著 z 軸的旋轉。
最外面的（最左的）矩陣代表繞著 Z 軸的旋轉。
在中間的矩陣代表繞著交點線的旋轉。

經過一番運算，可以得到 $A$ 矩陣：

A={\begin{bmatrix}\cos \alpha \cos \gamma -\cos \beta \sin \alpha \sin \gamma &\sin \alpha \cos \gamma +\cos \beta \cos \alpha \sin \gamma &\sin \beta \sin \gamma \\-\cos \alpha \sin \gamma -\cos \beta \sin \alpha \cos \gamma &-\sin \alpha \sin \gamma +\cos \beta \cos \alpha \cos \gamma &\sin \beta \cos \gamma \\\sin \beta \sin \alpha &-\sin \beta \cos \alpha &\cos \beta \end{bmatrix}}

。

$A$ 的逆矩陣是：

A^{-1}={\begin{bmatrix}\cos \alpha \cos \gamma -\cos \beta \sin \alpha \sin \gamma &-\cos \alpha \sin \gamma -\cos \beta \sin \alpha \cos \gamma &\sin \beta \sin \alpha \\\sin \alpha \cos \gamma +\cos \beta \cos \alpha \sin \gamma &-\sin \alpha \sin \gamma +\cos \beta \cos \alpha \cos \gamma &-\sin \beta \cos \alpha \\\sin \beta \sin \gamma &\sin \beta \cos \gamma &\cos \beta \end{bmatrix}}

。

歐拉旋轉定律

歐拉旋轉定理表明，在三維空間裏，假設約束剛體內部一點固定不動，則其任意位移等價於繞著某固定軸的一個旋轉，而這固定軸必含有這固定點。換句話說，設定附體參考系B的原點為這固定點，則附體參考系B不會因為這位移而涉及任何平移運動，再設定附體參考系B的z-軸與固定軸同軸，則這位移對應於繞著附體參考系B的z-軸旋轉 $\gamma$ 角弧，而z-軸的方向是由 $\alpha$ 與 $\beta$ 角弧給出。^[2]

對於內部有一點被約束固定不動的剛體（或原點固定不動的參考系），歐拉旋轉定理將其任意位移等價為繞著某固定軸的一個旋轉。這允許使用旋轉來表達定向的改變。因此，變換矩陣 $A$ 可以視為三維旋轉的旋轉矩陣，將附體參考系B或剛體做任意環繞著固定點的旋轉，從 ${\hat {\mathbf {e} }}_{1}$ 、 ${\hat {\mathbf {e} }}_{2}$ 、 ${\hat {\mathbf {e} }}_{3}$ 旋轉成為 ${\hat {\mathbf {e} }}'_{1}$ 、 ${\hat {\mathbf {e} }}'_{2}$ 、 ${\hat {\mathbf {e} }}'_{3}$ 。參考軸 ${\hat {\mathbf {e} }}'_{i}$ 與 ${\hat {\mathbf {e} }}_{j}$ 之間的關係為

{\hat {\mathbf {e} }}'_{i}=a_{ij}{\hat {\mathbf {e} }}_{j}

。

沙勒定理

當剛體移動時，它的位置與定向都可能會隨著時間演進而改變。在運動學裏，這可分為平移運動與旋轉運動。根據沙勒定理（Chasles' theorem），歐拉旋轉定律的推論，剛體的最廣義位移等價於一個平移加上一個旋轉。^[2]剛體的現在位置與現在定向可以視為是從某個初始位置與初始定向經過平移與旋轉而成，這平移與旋轉可能不依循物體的運動軌道。挑選剛體內部一點G來代表整個剛體，設定附體參考系B的原點於點G，則從空間參考系S觀測，在剛體內部任意一點P的位置 $\mathbf {r} _{P}$ 為

\mathbf {r} _{P}=\mathbf {r} _{G}+\mathbf {r} _{P/G}

；

其中， $\mathbf {r} _{G}$ 、 $\mathbf {r} _{P/G}$ 分別是點G的位置、從點G到點P的位移。

從附體參考系B觀測，剛體內部每一點的位置都固定不變。剛體從時間 $t_{0}$ 到時間 $t$ 的運動，可以分為點G從 $\mathbf {r} _{G}(t_{0})$ 到 $\mathbf {r} _{G}(t)$ 的平移運動，與位移 $\mathbf {r} _{P/G}$ 從時間 $t_{0}$ 到時間 $t$ 的旋轉運動。

平移速度與角速度

從不同的參考系觀測剛體運動，可能會獲得不同的平移速度和不同的角速度。為了確保測量結果具有實際物理意義，必需先給定參考系。

剛體的平移速度是向量，是其位置向量的時間變化率，是附著於剛體的附體參考系的原點的速度。對於純平移運動（沒有任何旋轉運動），剛體內部所有點的移動速度相同。假設涉及旋轉運動，則通常剛體內部任意兩點的瞬時速度不相等；只有當它們恰巧處於同一直軸，而這直軸平行於轉動瞬軸（instantaneous axis of rotation），則它們的瞬時速度相等。

角速度也是向量，描述剛體定向改變的角速率，以及剛體旋轉時的瞬時轉軸（歐拉旋轉定理保證瞬時轉軸的存在）。在任意時間，剛體內部每一個粒子的角速度相同。

向量的時間變化率

假設一剛體呈純旋轉運動，其附體參考系B也會跟著旋轉，因此，對於任意向量 $\mathbf {F}$ ，從這附體參考系B與從空間參考系S觀測，會得到不同的結果。假設附體參考系B $({\hat {\mathbf {e} }}_{1},{\hat {\mathbf {e} }}_{2},{\hat {\mathbf {e} }}_{3})$ 與空間參考系S $({\hat {\mathbf {x} }}_{1},{\hat {\mathbf {x} }}_{2},{\hat {\mathbf {x} }}_{3})$ 同原點。對於這些參考系，三維含時向量 $\mathbf {F} (t)$ 分解為

\mathbf {F} =f_{i}{\hat {\mathbf {x} }}_{i}=F_{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}

。

$\mathbf {F} (t)$ 對於時間的導數為

{\frac {\mathrm {d} \mathbf {F} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} f_{i}}{\mathrm {d} t}}{\hat {\mathbf {x} }}_{i}={\frac {\mathrm {d} F_{i}}{\mathrm {d} t}}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}+F_{i}{\frac {\mathrm {d} {\hat {\mathbf {e} }}_{i}}{\mathrm {d} t}}

。

單獨計算附體參考軸對於時間的導數：

{\frac {\mathrm {d} {\hat {\mathbf {e} }}_{i}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(a_{ij}{\hat {\mathbf {x} }}_{j})={\dot {a}}_{ij}{\hat {\mathbf {x} }}_{j}={\dot {a}}_{ij}a_{kj}{\hat {\mathbf {e} }}_{k}

；

其中， ${\dot {a}}_{ij}\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}a_{ij}$ 是方向餘弦對於時間的導數。

由於 ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}$ 垂直於 ${\hat {\mathbf {e} }}_{i}$ ， ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}$ 只能是其他兩個單位向量的線性組合：

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}=-\epsilon _{ij\ell }\omega _{ij}{\hat {\mathbf {e} }}_{\ell }

；

其中， $\epsilon _{ij\ell }$ 是列維-奇維塔符號， $\omega _{ij}$ 是係數。

對於任意 ${\hat {\mathbf {e} }}_{m}\neq {\hat {\mathbf {e} }}_{i}$ , 單位向量 ${\hat {\mathbf {e} }}_{i}$ 與 ${\hat {\mathbf {e} }}_{m}$ 的內積對於時間的導數為

{\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}({\hat {\mathbf {e} }}_{i}\cdot {\hat {\mathbf {e} }}_{m})&=\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\right)\cdot {\hat {\mathbf {e} }}_{m}+{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\cdot \left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\hat {\mathbf {e} }}_{m}\right)\\&=-\epsilon _{ij\ell }\omega _{ij}{\hat {\mathbf {e} }}_{\ell }\cdot {\hat {\mathbf {e} }}_{m}-{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\cdot \epsilon _{mj\ell }\omega _{mj}{\hat {\mathbf {e} }}_{\ell }\\&=-\epsilon _{ijm}\omega _{ij}-\epsilon _{mji}\omega _{mj}\\&=-\epsilon _{ijm}(\omega _{ij}-\omega _{mj})\\&=0\\\end{aligned}}

所以， $\omega _{ij}$ 的下標 $i$ 多餘無用，可以刪除，變為 $\omega _{j}$ ：

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}=-\epsilon _{ij\ell }\omega _{j}{\hat {\mathbf {e} }}_{\ell }

。

思考 ${\frac {\mathrm {d} \mathbf {F} }{\mathrm {d} t}}$ 方程式最右邊項目 $F_{i}{\frac {\mathrm {d} {\hat {\mathbf {e} }}_{i}}{\mathrm {d} t}}$ ，對換傀標 $i$ $\ell$ ，可以得到

F_{i}{\frac {\mathrm {d} {\hat {\mathbf {e} }}_{i}}{\mathrm {d} t}}=-\epsilon _{ij\ell }F_{i}\omega _{j}{\hat {\mathbf {e} }}_{\ell }=\epsilon _{ij\ell }{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\omega _{j}F_{\ell }={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {F}

。

向量 ${\boldsymbol {\omega }}$ 是由三個係數 $\omega _{1}$ 、 $\omega _{2}$ 、 $\omega _{3}$ 組成，對應於附體參考系的三個參考軸 ${\hat {\mathbf {e} }}_{1}$ 、 ${\hat {\mathbf {e} }}_{2}$ 、 ${\hat {\mathbf {e} }}_{3}$ ，係數數值可以從歐拉角計算求得：

\omega _{1}={\dot {a}}_{2j}a_{3j}={\dot {\alpha }}\sin {\beta }\sin {\gamma }+{\dot {\beta }}\cos {\gamma }

、

\omega _{2}=-{\dot {a}}_{1j}a_{3j}={\dot {\alpha }}\sin {\beta }\cos {\gamma }+{\dot {\beta }}\sin {\gamma }

、

\omega _{3}={\dot {a}}_{1j}a_{2j}={\dot {\alpha }}\cos {\beta }+{\dot {\gamma }}

。

試想對應於歐拉角 $\alpha$ 、 $\beta$ 、 $\gamma$ 的三個旋轉軸分別為 ${\hat {\mathbf {z} }}$ 、 ${\hat {\mathbf {N} }}$ 、 ${\hat {\mathbf {Z} }}$ ，三個角速度分別為

{\boldsymbol {\omega }}_{\alpha }={\dot {\alpha }}{\hat {\mathbf {z} }}={\dot {\alpha }}\sin {\beta }\sin {\gamma }{\hat {\mathbf {X} }}+{\dot {\alpha }}\sin {\beta }\cos {\gamma }{\hat {\mathbf {Y} }}+{\dot {\alpha }}\cos {\beta }{\hat {\mathbf {Z} }}

、

{\boldsymbol {\omega }}_{\beta }={\dot {\beta }}{\hat {\mathbf {N} }}={\dot {\beta }}\cos {\gamma }{\hat {\mathbf {X} }}-{\dot {\beta }}\sin {\gamma }{\hat {\mathbf {Y} }}

、

{\boldsymbol {\omega }}_{\gamma }={\dot {\gamma }}{\hat {\mathbf {Z} }}

。

這三個角速度的向量和，對於附體參考系B的分量分別為

\omega _{X}={\dot {\alpha }}\sin {\beta }\sin {\gamma }+{\dot {\beta }}\cos {\gamma }=\omega _{1}

、

\omega _{Y}={\dot {\alpha }}\sin {\beta }\cos {\gamma }+{\dot {\beta }}\sin {\gamma }=\omega _{2}

、

\omega _{Z}={\dot {\alpha }}\cos {\beta }+{\dot {\gamma }}=\omega _{3}

。

注意到附體參考系B的 ${\hat {\mathbf {e} }}_{1}$ 、 ${\hat {\mathbf {e} }}_{2}$ 、 ${\hat {\mathbf {e} }}_{3}$ 就是歐拉角的 ${\hat {\mathbf {X} }}$ 、 ${\hat {\mathbf {Y} }}$ 、 ${\hat {\mathbf {Z} }}$ ，所以，向量 ${\boldsymbol {\omega }}$ 是附體參考系B旋轉的角速度。

總結，向量 $\mathbf {F} (t)$ 對於時間的導數為

{\frac {\mathrm {d} \mathbf {F} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} f_{i}}{\mathrm {d} t}}{\hat {\mathbf {x} }}_{i}={\frac {\mathrm {d} F_{i}}{\mathrm {d} t}}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}+{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {F}

。

設定 $\left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {F} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {space} }$ 、 $\left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {F} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {body} }$ 分別為從空間參考系S、附體參考系B觀測到的向量 $\mathbf {F} (t)$ 對於時間的導數，上述方程式可以表達為

\left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {F} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {space} }=\left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {F} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {body} }+{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {F}

。

由於向量 $\mathbf {F} (t)$ 是任意向量，可以將 $\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {space} }$ 、 $\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {body} }$ 當作算符，這樣，對應的算符方程式的形式為：

\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {space} }=\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {body} }+{\boldsymbol {\omega }}\times

。

這算符方程式可以作用於任意含時向量。

动力学

主项目：刚体动力学

描述刚体的平移运动（位置、速度、加速度等等），刚体内任意一点皆可被用为参考点（L参考系的原点）。但是，根据实际需要，一个适当的选择是：

整个刚体的质心；
平移运动是零，或可以简易研算的点。例如：在轴或铰链上、在万向接头的中心等等。

当质心被选为参考点时：

刚体的动量与刚体旋转运动无关。在任何时间，动量等于刚体的总质量乘以平移速度。
不论刚体平移运动为何，对于质心的角动量皆等同。所以，在计算角动量时，可以忽略平移运动。在任何时间，角动量等于惯性张量乘以角速度。假若知道刚体环绕于主轴的角速度，那麼，对应于每一主轴的角动量，是对应的主慣性矩乘以对应的角速度；力矩是转动惯量乘以角加速度。
在无外力作用下，可能形成的运动为等速直线运动、稳定绕固定轴旋转运动、无力矩的进动等等。
作用于刚体的净外力，等于总质量乘以刚体平移运动的加速度（也就是说，不论净外力矩是否为零，或这刚体是否在作旋转运动，牛頓第二運動定律可以正确地应用于刚体平移运动，）。
总动能是平移动能与旋转动能的总和。

刚体的转动

刚体的转动定理： $M=I\alpha \,\!$ ，其中 $M\,\!$ 为刚体所受合外力的力矩， $I\,\!$ 为刚体转动惯量， $\alpha \,\!$ 为刚体角加速度。
刚体的转动动能定理： $W=\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}M\,d\theta ={\frac {1}{2}}I\omega _{2}^{2}-{\frac {1}{2}}I\omega _{1}^{2}\,\!$ ，其中 $\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}M\,d\theta \,\!$ 表示合外力的力矩 $M\,\!$ 在角位移 $\theta _{2}-\theta _{1}\,\!$ 上所作的功， $I\,\!$ 为刚体的转动惯量， $\omega \,\!$ 为刚体角速度。
刚体的转动和平动可以合成为刚体的平面运动，由柯尼希定理，其动能为 $E_{k}={\frac {1}{2}}mV_{c}^{2}+{\frac {1}{2}}I\omega ^{2}\,\!$ ，其中 $V_{c}\,\!$ 为刚体质心对参考系的速度。