笛卡儿叶形线:修订间差异
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当<math>a y - x^2 = 0</math>时,笛卡儿叶形线的切线是水平的。所以: |
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:<math>x = a\sqrt[3]{ |
:<math>x = a\sqrt[3]{2}.</math> |
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当<math>y^2 - a x = 0</math>时,笛卡儿叶形线的切线是竖直的。所以: |
当<math>y^2 - a x = 0</math>时,笛卡儿叶形线的切线是竖直的。所以: |
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:<math>y = a\sqrt[3]{ |
:<math>y = a\sqrt[3]{2}.</math> |
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这可以通过曲线的对称来解释。我们可以看到,曲线有两条水平切线和两条竖直切线。笛卡儿叶形线关于<math>y = x</math>对称,所以如果水平切线有坐标<math>(x_1,y_1)</math>的话,则一定有一个对应的竖直切线,坐标为<math>(y_1,x_1)</math>。 |
这可以通过曲线的对称来解释。我们可以看到,曲线有两条水平切线和两条竖直切线。笛卡儿叶形线关于<math>y = x</math>对称,所以如果水平切线有坐标<math>(x_1,y_1)</math>的话,则一定有一个对应的竖直切线,坐标为<math>(y_1,x_1)</math>。 |
2010年4月14日 (三) 12:47的版本
笛卡儿叶形线是一个代数曲线,首先由笛卡儿在1638年提出。笛卡儿叶形线的隐式方程为:
在极坐标中的方程为:
曲线的特征
切线的方程
利用隐函数的求导法则,我们可以求出y':
利用直线的点斜式方程,我们可以求出点处的切线方程:
水平和竖直切线
当时,笛卡儿叶形线的切线是水平的。所以:
当时,笛卡儿叶形线的切线是竖直的。所以:
这可以通过曲线的对称来解释。我们可以看到,曲线有两条水平切线和两条竖直切线。笛卡儿叶形线关于对称,所以如果水平切线有坐标的话,则一定有一个对应的竖直切线,坐标为。
渐近线
曲线有一条渐近线:
这个渐近线的斜率是-1,x截矩和y截矩都是-a。
参考文献
- Beyer, W. H. CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press, p. 218, 1987.
- Gray, A. Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica, 2nd ed. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 77-82, 1997.
- Lawrence, J. D. A Catalog of Special Plane Curves. New York: Dover, pp. 106-109, 1972.
- MacTutor History of Mathematics Archive. "Folium of Descartes." http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Curves/Foliumd.html.
- Stroeker, R. J. "Brocard Points, Circulant Matrices, and Descartes' Folium." Math. Mag. 61, 172-187, 1988.
- Yates, R. C. "Folium of Descartes." In A Handbook on Curves and Their Properties. Ann Arbor, MI: J. W. Edwards, pp. 98-99, 1952.