自然密度(英語:natural density),又称渐进密度(英語:asymptotic density),是数论中度量自然数子集大小的工具之一。
以平方数集和自然数集的大小关系为例:
- 平方数集与自然数集都是可数无穷集,我们能够在两个集合间建立一一映射(对于任意的自然数
都可以找到对应的平方数
与之对应,反之亦然),即两个集合是等势的。
- 然而,这种基于基数的大小比较违反了自然数多于平方数的直观认识,因为所有平方数都是自然数,而却有许多自然数不是平方数,且随着自然数的增大平方数会变得越来越稀少。通过将这种度量集合大小的直觉严格化,可以得到自然密度这一概念。
考虑自然数的一个子集
和整数区间
:
- 如果从整数区间
中随机选取一个整数,那么这个整数属于
的概率应该等于
与整数区间
的交集中的所有元素在整数区间
中的占比。当
趋近于无穷时,若上述概率也趋近于某个极限,则将该极限定义为
的自然密度。
的自然密度也可以被理解为:任取一个自然数,该自然数属于
的概率。
自然密度(以及一些其他类型的密度)也是概率数论的研究对象。
与施尼勒尔曼密度不同,并不是任何自然数的子集都有自然密度。这是自然密度的一个不足之处。
对于一个自然数集的子集
,当
趋向于无穷时,若
中不大于
的元素个数与
的比值收敛到
,则称
的自然密度为
。
更进一步,若定义
为
里不大于
的元素个数,那么命题“
的自然密度为
”等效于:
,当
[1]
从定义中可以看出,若
是某个集合
的自然密度,则一定有
。
设
是自然数集
的一个子集。对任何
,定义
,
。
则
的上自然密度(英語:upper asymptotic density)为:
![{\displaystyle {\overline {d}}(A)=\limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {a(n)}{n}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9AoNhFnDi1a2nEyqzFzDe0zqa2zgi5ztoNoNG2njiPzghAyqdFnDe0)
其中
是上极限。
也可简称为
的上密度。
同样地,定义A的下自然密度(英語:lower asymptotic density)为:
![{\displaystyle {\underline {d}}(A)=\liminf _{n\rightarrow \infty }{\frac {a(n)}{n}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO83ngePzNdBztrFnjoOaDnAagzFyjm0zDhEzNa1njJEzqaOzDvCzjzD)
1. 由上自然密度和下自然密度的定义,我们也可以说
的自然密度
是:
- 若
,则
等于
(或
) 。
2. 自然密度的定义还可以表示为:
(若极限存在)[2]
3. 可以证明,下述命题也是自然密度的定义:
- 若将自然数集
的子集
写作一个递增数列:
![{\displaystyle A=\{a_{1}<a_{2}<\ldots <a_{n}<\ldots ;n\in \mathbb {N} \}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO85ngw0zji4yqdAoAvFnta3zjsPa2o1nqdBoNnDytm4aAnAntw4nDC1)
- 那么
![{\displaystyle {\underline {d}}(A)=\liminf _{n\rightarrow \infty }{\frac {n}{a_{n}}},}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9EaDGNoqi4oNnCotBCngo5zNrBaDKQyjBAzDw1nAs0ageOaqe5otG4)
![{\displaystyle {\overline {d}}(A)=\limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {n}{a_{n}}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8NnjBBztG1zta0njC2aNzDo2i3z2o2oDe1zqdCoNBDagoQo2a2yqdD)
(若极限存在)
一个稍弱的密度定义是 上Banach密度(英語:upper Banach density)。对于
,定义
为:
![{\displaystyle d^{*}(A)=\limsup _{N-M\rightarrow \infty }{\frac {|A\cap \{M,M+1,\ldots ,N\}|}{N-M+1}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8QoNw1oDJFzgo3agrEzga0nDJBnjG4ytJAajnEz2hCz2vFnjBFoDs0)
- 若对于集合
存在
,则对于其补集
,
成立。
- 若
,
及
均存在,则
成立。
- 自然数集的自然密度为
,即
成立。
- 对于自然数集的任意有限子集
, 有
成立。
- 对于平方数集
,有
成立。
- 对于偶数集
,有
成立。更一般地,对于等差级数组成的集合
,有
成立。
- 对于质数集合
,由质数定理知:
成立。
- 无平方数因数的数的集合的自然密度为
。更一般地,无
次方因数的数的集合的自然密度为
,其中
是黎曼ζ函數。
- 过剩数集合具有非零的自然密度[3]。Marc Deléglise在1998年证明了过剩数和完全数的集合的自然密度在0.2474与0.2480之间[4]。
- 所有在二进制表示法中位数为奇数的自然数的集合,即
,不存在自然密度。这是因为该集合的上自然密度不等于下自然密度。
- 其上自然密度为:
![{\displaystyle {\overline {d}}(A)=\lim _{m\rightarrow \infty }{\frac {1+2^{2}+\cdots +2^{2m}}{2^{2m+1}-1}}=\lim _{m\rightarrow \infty }{\frac {2^{2m+2}-1}{3(2^{2m+1}-1)}}={\frac {2}{3}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8PntJEnjvCajm5ngdAnjw2nqiQagi0z2vBnjBFa2a5oNi0nqiOntm2)
- 而其下自然密度为:
![{\displaystyle {\underline {d}}(A)=\lim _{m\rightarrow \infty }{\frac {1+2^{2}+\cdots +2^{2m}}{2^{2m+2}-1}}=\lim _{m\rightarrow \infty }{\frac {2^{2m+2}-1}{3(2^{2m+2}-1)}}={\frac {1}{3}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO81zDdFntlBytBEa2zDo2dAnthDaNhCntvAoDiQajvDajJAzqwPntJD)
- 同样,所有十进制表示法中以
开头的自然数的集合也不具有自然密度。其上自然密度为
而其下自然密度为
。[1]
- 对区间[0,1]上的任意Equidistributed序列
,定义单调集族
:
![{\displaystyle A_{x}:=\{n\in \mathbb {N} \,:\,\alpha _{n}<x\}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9EaqwQa2rBzjBCaAsOajw0ytnDyti2ytBAnje0yqa4oNGOajJDz2i3)
- 则依定义有:
- 对于任意的
,
。
- 若
有正的上自然密度,则塞迈雷迪定理表明
包含了任意长度的等差数列。Furstenberg–Sárközy定理表明,
内一定存在差为平方数的两个元素。
用类似的方法可以定义出自然数集上的其他密度函数。 例如,集合
的对数密度(英語:logarithmic density)可以定义为:
(若极限存在)
同样也可以定义对应的上对数密度和下对数密度。