此條目介紹的是数学上的区间概念。关于铁路运输的区间概念,请见「
闭塞 (铁路)」。
在圖中的數軸上,所有大于x和小于x+a的数组成了一个开区间。
區間(英語:interval)在數學上是指某個範圍的數的集合,或者更一般地是指某个范围的预序集元素的集合,一般以集合形式表示。
在初等代數,傳統上區間指一個集,包含在某兩個特定實數之間的所有實數,亦可能包含該兩個實數(或其中之一)。區間表示法是表示一個變數在某個區間內的方式。通用的區間表示法中,圓括號表示排除,方括號表示包括。例如,開區間
表示所有在
和
之間的實數,但不包括
或
。另一方面,閉區間
表示所有在
和
之間的實數,以及
和
。[1]
实区间[编辑]
在赋予通常序的实数集
里,以
为端点的开区间和闭区间分别是:
![{\displaystyle (a,b)=\{x\in \mathbb {R} \colon a<x<b\}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO80nqvBata1ztnFoAa3aNGQoqs3nAo3ytzDoqo1yto3ztJEoDhCnqi5)
![{\displaystyle [a,b]=\{x\in \mathbb {R} \colon a\leq x\leq b\}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9AygaNyjzCota2zNaOoDs0zDrFytoOzDw2zNK3nthCnDs4aqs1njsO)
类似地,以
为端点的两个半开区间定义为:
![{\displaystyle (a,b]=\{x\in \mathbb {R} \colon a<x\leq b\}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8Ooqa2otJCatm0atlBzNG0ajeOzNC5atdDzjw3aDCOaqzFnjlEnto0)
![{\displaystyle [a,b)=\{x\in \mathbb {R} \colon a\leq x<b\}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8QnjFFz2o2nAe3ajFEoNsQo2e5zjJCats5oNm3aDnFntsOnjK2yte3)
在一些上下文中,两个端点要求满足
。这排除了
从而区间或是单元素集合或是空集的情形,也排除了
从而区间为空集的情形。
只有左端点
的开区间和半开区间分别如下。
![{\displaystyle (a,\infty )=\{x\in \mathbb {R} \colon x>a\},}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8PztsQato5ntdAaNBAztK5zDePztw0nDo5aDnDotiNzji5ngsQnqsQ)
![{\displaystyle [a,\infty )=\{x\in \mathbb {R} \colon x\geq a\},}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8QaDJDygs2zAdDzNG0zAeOytnDzqnCnjJCytmNz2aPotFFztvCaDwN)
只有右端点
的开区间和半开区间分别如下。
![{\displaystyle (-\infty ,b)=\{x\in \mathbb {R} \colon x<b\},}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9AztK4zNi2oAaPzDFBzgoOaAhDajaNztrCaDs5agvCzDw5zDCPnjJE)
![{\displaystyle (-\infty ,b]=\{x\in \mathbb {R} \colon x\leq b\},}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO82nDvBz2hEzDaNzAo1ntK2atnDngw3aDi4njzFnqhDntaNotwPo2a0)
整个实数线等于没有端点的区间:
![{\displaystyle (-\infty ,\infty )=\mathbb {R} }](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8NntzCytw2aNG2a2e1nqeNz2w3oDK0oqsOnDGPntGPzqnDaAdCzAw2)
偏序集或预序集中的区间[编辑]
区间的概念在任何偏序集或者更一般地,在任何预序集中有定义。对于预序集
和两个元素
,我们可以类似定义[2]:11, Definition 11
![{\displaystyle (a,b)=\{x\in X\colon a<x<b\}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO80a2nDyga5atnCagnDzNJEnqe3a2nCyte2nqs0oAe0nAnAyjG4zNFF)
![{\displaystyle [a,b]=\{x\in X\colon a\lesssim x\lesssim b\}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9DnDhEythCzgsQnqnCytG3nAe0zqs0ngsNzNm2zDdCajo2zjCNnDoN)
![{\displaystyle (a,b]=\{x\in X\colon a<x\lesssim b\}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9DzDsOytvFyqw3o2w2otK3ytw5zAhEnDe3o2oQaAwQnjhDaqe1zDo4)
![{\displaystyle [a,b)=\{x\in X\colon a\lesssim x<b\}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO83agnBaAvFngoPntC5ntiOzAvDnjhBztsOzDrCoAeOzAsNzNhBo2nF)
![{\displaystyle (a,\infty )=\{x\in X\colon a<x\}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9BaNoNngw5aqaOzDo1aga2aAo3aDw0oAaOotzAnts0ztK1z2sPzgs2)
![{\displaystyle [a,\infty )=\{x\in X\colon a\lesssim x\}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8OaqhFajFCo2w1zgw3ngrEnDKQyjG5zgaPzAoNotJCatC4a2o3ytC4)
![{\displaystyle (-\infty ,b)=\{x\in X\colon x<b\}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO85ytdFaqvDatBEzgnCzDa3ztdBoNlCoDvCntiQntiNntdCzDa2ajm5)
![{\displaystyle (-\infty ,b]=\{x\in X\colon x\lesssim b\}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9FoqaPnArEa2a2o2e2nAdFz2wPa2zCnjvAoqhCnDnDoNC1nDoOoDo0)
![{\displaystyle (-\infty ,\infty )=X}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9Cztm2nqo4yqwQzgePothEatlCnDvFzts3agdBytBEzDGOotJAzNlD)
其中
意思是
。其实,只有一个端点或者没有端点的区间等同于更大的预序集
![{\displaystyle {\bar {X}}=X\sqcup \{-\infty ,\infty \}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9EztC2atvDoNo0nAhBajmPnAiPnqwPa2a0ajw2aDK1zDzDzqwOyjK5)
![{\displaystyle -\infty <x<\infty \qquad (\forall x\in X)}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO84nqw0zqi1aga1ata4zAsOnthBzNrCaNs3oqo0nDi3o2w0ytmPnqdB)
上具有两个端点的区间,使得它是
的子集。当
时,可以取
为扩展实数线。
序凸集和序凸分支[编辑]
预序集
的子集
是序凸集,如果对于任意
以及任意
有
。与实区间的情形不同,预序集的序凸集不一定是区间。例如,在有理数的全序集
中,
![{\displaystyle \mathbb {Q} =\{x\in \mathbb {Q} \colon x^{2}<2\}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO81zDsQaNsPzNi4ajhDyga4yqs5otFAnjsOoDhCaNhDyjFFnqdCagaN)
是序凸集,但它不是
的区间,这是因为2的平方根在
中是不存在的。
设
是一个预序集,且
。包含在
中的
的序凸集关于包含关系构成偏序集。这个偏序集的极大元叫做
的序凸分支。[3]:Definition 5.1由佐恩引理,包含在
中的
的任意序凸集包含于
的一个序凸分支,然而这种序凸分支不一定是唯一的。在全序集中,这样的序凸分支确实唯一。也就是说,全序集的子集的序凸分支构成分划。
區間算術[编辑]
區間算術又稱區間數學、區間分析、區間計算,在1950、60年代引進以作數值分析上計算捨去誤差的工具。
屬於
的某些
,及屬於
的某些
,使得![{\displaystyle x=y\times z\}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8Pati2aAw1nqwOagi1nta1oNw2nDdBztBEaDm1agdCaDG5oqeOoNdD)
區間算術的基本運算是,對於實數線上的子集
及
:
![{\displaystyle [a,b]+[c,d]=[a+c,b+d]}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9Anqs4oNs1aDvAnqi4ytoNzDiQa2rFajvCaDe3aqwQa2nCoDdDyjG4)
![{\displaystyle [a,b]-[c,d]=[a-d,b-c]}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO82njo1nAvBnthEotGQnDdAotePzNBFaDBEztCNyjwNyqiPzqo5nDC2)
![{\displaystyle [a,b]\times [c,d]=[\min\{ac,ad,bc,bd\},\max\{ac,ad,bc,bd\}]}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9EaNa0o2oQatFBoDvDo2o3ngzDzDBEoDhAnqnFajdEnDG3yghCaDJA)
![{\displaystyle {\frac {[a,b]}{[c,d]}}=\left[\min \left\{{\frac {a}{c}},{\frac {a}{d}},{\frac {b}{c}},{\frac {b}{d}}\right\},\max \left\{{\frac {a}{c}},{\frac {a}{d}},{\frac {b}{c}},{\frac {b}{d}}\right\}\right]}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9EnjK2otsPyga2zNGNaDCOzDlAzNoOzAzBnjwQaqs4zgzDntlAnqrC)
被一個包含零的區間除,在基礎區間算術上無定義。
加法和乘法符合交換律、結合律和子分配律:集
是
的子集。
另一種寫法[编辑]
在法国及其他一些欧洲国家,用
代替
來表示开区间,例如:
![{\displaystyle \left]a,b\right[=\{x\mid a<x<b\}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9Aaqo1oDs4ajK1nta3nqhEaga4aqi3ntG5zNw1ztzEzqwNaAhBatG5)
![{\displaystyle \left[a,b\right]=\{x\mid a\leq x\leq b\}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8Onta1zjhCoDiQataQa2sNnAsNatnAagzAoDnFnqwQaje0ajiQaNK0)
![{\displaystyle \left[a,b\right[=\{x\mid a\leq x<b\}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9Dzji2zNdEo2a4atlCaga2ajw1ztiOoNaQztGNaDa4njC0oqs2oNdB)
![{\displaystyle \left]a,b\right]=\{x\mid a<x\leq b\}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9AyjnDyqo2yje5zDJBa2vCzNJBzAwOntm5zjaQyjK3atePyte4agiQ)
國際標準化組織編制的ISO 31-11也允許這種寫法[4]。
另外,在小數點以逗號來表示的情況下,為免產生混淆,分隔兩數的逗號要用分號來代替,例如將
寫成
。若只把小數點寫成逗號,就會變成
,此時不易判斷究竟是
與
之間,還是
與
之間的閉區間。
- ^ Interval and segment - Encyclopedia of Mathematics. encyclopediaofmath.org. Springer & The European Mathematical Society. [2021-05-18]. (原始内容存档于2014-12-26).
- ^ Vind, Karl. Independence, additivity, uncertainty. Studies in Economic Theory 14. Berlin: Springer. 2003. ISBN 978-3-540-41683-8. Zbl 1080.91001. doi:10.1007/978-3-540-24757-9 (英语).
- ^ Heath, R. W.; Lutzer, David J.; Zenor, P. L. Monotonically normal spaces. Transactions of the American Mathematical Society. 1973, 178: 481–493. ISSN 0002-9947. MR 0372826. Zbl 0269.54009. doi:10.2307/1996713 (英语).
- ^ ISO 31-11:1992. ISO. [2021-05-18]. (原始内容存档于2021-05-18) (英语).