Saltar ao contido

Número triangular

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.
Os seis primeiros números triangulares

Un número triangular conta os obxectos colocados en forma de triángulo equilátero. O n-ésimo número triangular é o número de puntos na disposición triangular con n puntos a cada lado (ver figura), e é igual á suma dos n números naturais de 1 a n. A secuencia de números triangulares, comezando co número triangular 0, é

0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 630, 666...

(secuencia A000217 na OEIS)

Derivado do Triángulo de Pascal xustificado á esquerda .      Número natural      Número triangular      Número tetrahédrico      Número Pentatópico      Número 5-simplex      Número 6-simplex      Número 7-simplex

Os números triangulares veñen dados polas seguintes fórmulas explícitas:

O feito de que o o número triangular é igual pódese ilustrar mediante unha proba visual.[1] O exemplo :

(verdes e amarelas) implica que (verdes).   

O número triangular Tn resolve o problema do apretón de mans de contar o número de apretóns de mans se cada persoa nunha habitación con n + 1 persoas dá a man unha vez a cada persoa. Noutras palabras, a solución ao problema do apretón de mans de n persoas é Tn−1.[2] A función T é o análogo aditivo da función factorial, que son os produtos de números enteiros de 1 a n.

Relacións con outros números figurados

[editar | editar a fonte]

Os números triangulares teñen unha gran variedade de relacións con outros números figurados (números que forman figuras).

Simplemente, a suma de dous números triangulares consecutivos é un número cadrado. Alxebraicamente,Hai infinitos números triangulares que tamén son números cadrados; por exemplo, 1, 36, 1225. Algúns deles pódense xerar mediante unha fórmula recursiva sinxela:con

Todos os números triangulares cadrados atópanse a partir da recursividadecon e

Ademais, o cadrado do n-ésimo número triangular é o mesmo que a suma dos cubos dos enteiros de 1 a n. Isto tamén se pode expresar comoA suma dos n primeiros números triangulares é o n ésimo número tetraédrico:A diferenza positiva de dous números triangulares é un número trapezoidal.

Outras propiedades

[editar | editar a fonte]

Os números triangulares corresponden ao caso de primeiro grao da fórmula de Faulhaber.

Os números triangulares alternados (1, 6, 15, 28, ...) tamén son números hexagonais.

Todo número perfecto par é triangular (así como hexagonal), dado pola fórmulaonde Mp é un primo de Mersenne. Non se coñecen números perfectos impares; polo tanto, todos os números perfectos coñecidos son triangulares.

Por exemplo, o terceiro número triangular é (3 × 2 =) 6, o sétimo é (7 × 4 =) 28, o 31 é (31 × 16 =) 496 e o 127 é (127 × 64 =) 8128.

A suma dos recíprocos de todos os números triangulares distintos de cero éIsto pódese mostrar usando a suma básica dunha serie telescópica (serie onde se eliminan elementos consecutivos por pares, ficando só o primeiro):Outras dúas fórmulas relativas aos números triangulares soneEn 1796, Gauss descubriu que todo número enteiro positivo é representable como unha suma de tres números triangulares (posiblemente incluíndo T0 = 0), escribindo no seu diario as súas famosas palabras, " ΕΥΡΗΚΑ! num = Δ + Δ + Δ ".

O maior número triangular da forma 2k − 1 é 4095 (ver a ecuación de Ramanujan–Nagell ).

Wacław Franciszek Sierpiński formulou a pregunta sobre a existencia de catro números triangulares distintos en progresión xeométrica. Foi conxecturado polo matemático polaco Kazimierz Szymiczek como imposible e máis tarde foi probado por Fang e Chen en 2007.[3] [4]

As fórmulas que implican expresar un número enteiro como suma de números triangulares están conectadas coas funcións theta, en particular á función theta de Ramanujan.[5][6]

Aplicacións

[editar | editar a fonte]
O número máximo de partes, p que obtemos con n cortes rectos é o n-ésimo número triangular máis un, formando a secuencia (secuencia A000124 na OEIS)

Unha rede totalmente conectada de n dispositivos informáticos require a presenza de Tn − 1 cabos ou outras conexións.

Nun formato de torneo que utiliza unha fase de grupos round-robin, o número de partidos que hai que xogar entre n equipos é igual ao número triangular Tn − 1. Por exemplo, unha fase de grupos con 4 equipos require 6 partidos, e unha fase de grupos con 8 equipos require 28 partidos.

Usado tamén no problema bovino de Arquímedes.

Raíces triangulares e probas de números triangulares

[editar | editar a fonte]

Por analoxía coa raíz cadrada de x, pódese definir a raíz triangular (positiva) de x como o número n tal que Tn = x: que segue inmediatamente da fórmula cadrática. Polo tanto, un número enteiro x é triangular se e só se 8x + 1 é un cadrado. De forma equivalente, se a raíz triangular positiva n de x é un número enteiro, entón x é o n-ésimo número triangular.

  1. "Triangular Number Sequence". Math Is Fun. 
  2. "The Handshake Problem | National Association of Math Circles". MathCircles.org. Arquivado dende o orixinal o 10 March 2016. Consultado o 12 January 2022. 
  3. Chen, Fang: Triangular numbers in geometric progression
  4. Fang: Nonexistence of a geometric progression that contains four triangular numbers
  5. Liu, Zhi-Guo (2003-12-01). An Identity of Ramanujan and the Representation of Integers as Sums of Triangular Numbers. The Ramanujan Journal (en inglés) 7. pp. 407–434. ISSN 1382-4090. doi:10.1023/B:RAMA.0000012425.42327.ae. 
  6. Sun, Zhi-Hong (2016-01-24). "Ramanujan's theta functions and sums of triangular numbers". arXiv:1601.06378 [math.NT]. 

Véxase tamén

[editar | editar a fonte]


Ligazóns externas

[editar | editar a fonte]