משפט פון נוימן-מורגנשטרן

משפט פון נוימן-מורגנשטרן בתורת המשחקים הינו משפט האפיון של פונקציית התועלת, והוא קובע מתי קיימת לשחקן פונקציית תועלת לינארית.

הגדרות וסימונים

נסמן את קבוצת התוצאות האפשריות: $O=\{A_{1},\cdots ,A_{K}\}$.

נסמן את הסימפלקס ה-$\,K$:

$\Delta ^{K}=\left\{\left(p_{1},\ldots ,p_{K}\right)\in \mathbb {R} ^{K}:p_{1}+\ldots +p_{K}=1\ ,\ p_{k}\geq 0\ \forall k\in \left\{1,\ldots ,K\right\}\right\}$.

הגרלות והגרלות מורכבות

הגרלה $\,L$ שבה כל תוצאה אפשרית $\,A_{k}$ יכולה להתקבל בהסתברות $\,p_{k}$ תסומן על ידי $L=\left[p_{1}\left(A_{1}\right),\ldots ,p_{K}\left(A_{K}\right)\right]$.

קבוצת ההגרלות על $\,O$:

${\mathcal {L}}\left(O\right)=\left\{\left[p_{1}\left(A_{1}\right),\ldots ,p_{K}\left(A_{K}\right)\right]:{\vec {p}}\in \Delta ^{K}\right\}$

הגרלה מורכבת ${\hat {L}}$ שבה כל הגרלה $\,L_{j}$ יכולה להתקבל בהסתברות $\,q_{j}$ תסומן על ידי ${\hat {L}}=\left[q_{1}\left(L_{1}\right),\ldots ,q_{J}\left(L_{J}\right)\right]$.

קבוצת ההגרלות המורכבות על $\,O$:

${\hat {\mathcal {L}}}\left(O\right)=\left\{\left[q_{1}\left(L_{1}\right),\ldots ,q_{J}\left(L_{J}\right)\right]:J\in \mathbb {N} ,\ L_{j}\in {\mathcal {L}}\left(O\right),\ {\vec {q}}\in \Delta ^{J}\right\}$

יחס העדפות

יחס העדפות הינו יחס בינארי $\succsim$ המייצג את העדפותיו של שחקן מסוים.

תהיינה ${\hat {L}}_{1},{\hat {L}}_{2}$ שתי הגרלות מורכבות שונות. במידה והשחקן מעדיף את הגרלה ${\hat {L}}_{1}$ על פני הגרלה ${\hat {L}}_{2}$, נסמן ${\hat {L}}_{1}\succsim {\hat {L}}_{2}$. אם השחקן אדיש בין שתי ההגרלות, נסמן ${\hat {L}}_{1}\approx {\hat {L}}_{2}$.

פונקציית תועלת

תהי $\,O$ קבוצה תוצאות, ו-$\succsim$ יחס העדפות שלם וטרנזיטיבי על $\,O$.

העתקה $u:O\rightarrow \mathbb {R}$ נקראת פונקציית תועלת המייצגת את $\succsim$ אם לכל $x,y\in O$ מתקיים:

$x\succsim y\quad \iff \quad u(x)\geq u(y)$

לינאריות של פונקציית תועלת

פונקציית תועלת $u$ היא לינארית אם לכל $L=[p_{1}(A_{1}),p_{2}(A_{2}),\cdots ,p_{n}(A_{n})]$ מתקיים: $u(L)=p_{1}u(A_{1})+p_{2}u(A_{2})+\cdots +p_{n}u(A_{n})$.

אקסיומות פון נוימן-מורגנשטרן

הנחות יסוד:

• קיימת קבוצה סופית של פרסים $A=\{A_{1},\cdots ,A_{n}\}$ בה יכול השחקן לזכות.
• לשחקן יש יחס ההעדפות שלם וטרנזיטיבי על הגרלות מורכבות.
  

תחת ההנחות הללו, ארבע האקסיומות בתועלת פון ניומן-מורגנשטרן הן רציפות, מונוטוניות, פישוט והצבה.

רציפות

עבור שחקן $\!i$ מתקיים : לכל שלושה פרסים $\!A\preceq _{i}B\preceq _{i}C$ קיים $\!0\leq \theta _{i}\leq 1$ כך ש: $\!B\approx _{i}[\theta _{i}(A),(1-\theta _{i})C]$

כלומר,עבור יחס ההעדפות שלעיל לגבי שלושה פרסים $\!A,B,C$ כאלה, קיים מספר $\!0\leq \theta _{i}\leq 1$ עבורו ניתן ליצור הגרלה חדשה בה השחקן יזכה בפרס $\!C$ בסיכוי $\!1-\theta _{i}$
ובפרס $\!A$ בסיכוי $\!\theta _{i}$, והשחקן יוותר אדיש בין הגרלה זו לבין זכייה בפרס $\!B$.

מונוטוניות

יהיו $\!0\leq \alpha ,\beta \leq 1$ ונניח כי $\!A\succ _{i}B$ אזי: $\![\alpha (A),(1-\alpha )B]\succeq _{i}[\beta (A),(1-\beta (B)]$ אם ורק אם $\!\alpha \geq \beta$

כלומר,אם שחקן מעדיף את פרס $\!A$ על פני פרס $\!B$, אזי הוא יעדיף כל הגרלה הנותנת לו את פרס $\!A$ בסיכוי $\!\alpha$ , על פני הגרלה הנותנת לו את $\!A$ בסיכוי נמוך יותר.

אקסיומת הפישוט

לכל $\!j=1,2...,J$ תהי $\!L_{j}$ ההגרלה הפשוטה:

$\!L_{j}=[p_{1}^{j}(A_{1}),p_{2}^{j}(A_{2}),...,p_{K}^{j}(A_{K})]$

ותהי ההגרלה המורכבת: $\!{\overline {L}}=[q_{1}(L_{1}),q_{2}(L_{2}),...,q_{j}(L_{j})]$

לכל $\!k=1...K$

נגדיר:

$\!r_{k}=[(q_{1})p_{k}^{1}+(q_{2})p_{k}^{2}+...+(q_{j})p_{k}^{J}]$

(כלומר,בהסתברות $\!q_{i}$ נזכה בתוצאה $\!L_{i}$ , ואז בסיכוי $\!p_{k}^{i}$ נזכה בפרס $\!A_{k}$. כאשר נסכום לכל $\!i$ נקבל את ההסתברות ל $\!A_{k}$ ) כך נוצרת ההגרלה הפשוטה:

$\!L=[r_{1}(A_{1}),r_{2}(A_{2}),...,r_{K}(A_{K})]$

אזי:

$\!L\approx _{i}{\overline {L}}$

כלומר, בהינתן הגרלה המגדירה את ההסתברויות לזכות באוסף פרסים, כל הגרלה שתגדיר את אותן הסתברויות, גם אם הינה בעלת יותר או פחות שלבים מההגרלה המקורית, שקולה להגרלה המקורית מבחינת יחס ההעדפות של השחקן.

הצבה

תהי $\!{\overline {L}}=[q_{1}(L_{1}),q_{2}(L_{2}),...,q_{j}(L_{j})]$ הגרלה מורכבת ו $\!M$ הגרלה פשוטה.

אם $\!L_{j}\approx _{i}M$ אזי: $\!{\overline {L}}\approx _{i}[q_{1}(L_{1}),...,q_{j-1}(L_{j-1}),q_{j}(M),q_{j+1}(L_{j+1}),...,q_{J}(L_{J})]$

האקסיומה דורשת כי אם בתוך הגרלה מורכבת נחליף הגרלה פשוטה בהגרלה השקולה לה, אזי השחקן ישאר אדיש בין ההגרלה המורכבת הראשונית לבין זו שבה החליפו את ההגרלות הפשוטות.

משפט פון נוימן-מורגנשטרן

אם יחס ההעדפות $\succsim _{i}$ על ${\hat {\mathcal {L}}}$ של שחקן $\,i$ הוא שלם וטרנזיטיבי ומקיים את ארבעת האקסיומות של פון נוימן ומורגנשטרן, אזי יחס ההעדפות ניתן לייצוג על ידי פונקציית תועלת ליניארית.

הוכחה

טענת עזר. אם יחס ההעדפות של שחקן מקיים את אקסיומות הרציפות והמונוטוניות, ואם $A\succsim _{i}B\succsim _{i}C$ ו- $A\succ _{i}C$, אזי הגודל $\,\theta _{i}$ המוגדר באקסיומת הרציפות יחיד.

הוכחת הטענה. יהי $\succsim _{i}$ יחס העדפות על $\left\{A_{1},\ldots ,A_{K}\right\}$ שמקיים את אקסיומות הרציפות והמונוטוניות, כאשר $A_{K}\succ _{i}A_{1}$.

לפי רציפות לכל $k\in \left\{1,\ldots ,K\right\}$ קיים $\theta _{i}^{k}\in \left[0,1\right]$ כך ש- $A_{k}\approx _{i}\left[\theta _{i}^{k}\left(A_{K}\right),\left(1-\theta _{i}^{k}\right)\left(A_{1}\right)\right]$.

אם $\varphi _{i}^{k}\in \left[0,1\right]$ מקיים $A_{k}\approx _{i}\left[\varphi _{i}^{k}\left(A_{K}\right),\left(1-\varphi _{i}^{k}\right)\left(A_{1}\right)\right]$, אז לפי מונוטוניות $\varphi _{i}^{k}=\theta _{i}^{k}$.

הוכחת המשפט. יהי ${{\succsim }_{i}}$ יחס העדפות המקיים את תנאי המשפט. נטפל במקרה שבו ${{A}_{K}}{{\succ }_{i}}{{A}_{1}}$.

שלב ראשון: הגדרת פונקציה $\,u_{i}$ על קבוצת ההגרלות.

לפי טענת עזר, לכל $k\in \left\{1,\ldots ,K\right\}$ קיים מספר ממשי יחיד $\theta _{i}^{k}\in \left[0,1\right]$ המקיים:

$A_{k}\approx _{i}\left[\theta _{i}^{k}\left(A_{K}\right),\left(1-\theta _{i}^{k}\right)\left(A_{1}\right)\right]\$

כעת נגדיר פונקציה $\,u_{i}$ על קבוצת ההגרלות המורכבות ${\hat {\mathcal {L}}}$. תהי נתונה הגרלה מורכבת ${\hat {L}}=\left[{{q}_{1}}\left({{L}_{1}}\right),\ldots ,{{q}_{J}}\left({{L}_{J}}\right)\right]$, שבה ${{q}_{1}},\ldots ,{{q}_{J}}$ הם מספרים אי-שליליים שסכומם $\,1$, ו-$L_{1},\ldots ,L_{J}$ הן הגרלות פשוטות הנתונות על ידי $L_{j}=\left[p_{1}^{j}\left(A_{1}\right),\ldots ,p_{K}^{j}\left(A_{K}\right)\right]$.

נגדיר לכל $k\in \left\{1,\ldots ,K\right\}$:

$r_{k}={q_{1}}{p_{k}^{1}}+{q_{2}}{p_{k}^{2}}+\ldots +{q_{J}}{p_{k}^{J}}\$

זוהי ההסתברות שתוצאת ההגרלה תהיה $\,A_{k}$. נגדיר פונקציה $\,u_{i}$ על קבוצת ההגרלות המורכבות באופן הבא:

$u_{i}\left({\hat {L}}\right)={r_{1}}{\theta _{i}^{1}}+{r_{2}}{\theta _{i}^{2}}+\ldots +{r_{K}}{\theta _{i}^{K}}\$

מכאן נובע בפרט שלכל הגרלה פשוטה $L=\left[p_{1}\left(A_{1}\right),\ldots ,p_{K}\left(A_{K}\right)\right]$ מתקיים:

$u_{i}\left(L\right)=\sum \limits _{k=1}^{K}{{p_{k}}{\theta _{i}^{k}}}$

שלב שני: $u_{i}\left(A_{k}\right)=\theta _{i}^{k}$ לכל $k\in \left\{1,\ldots ,K\right\}$.

הפרס $\,A_{k}$ שקול להגרלה $L=\left[1\left(A_{k}\right)\right]$, השקולה להגרלה המורכבת ${\hat {L}}=\left[1\left(L\right)\right]$. תוצאת ההגרלה ${\hat {L}}$ היא $\,A_{k}$ בהסתברות $\,1$, ולכן במקרה זה:

$r_{l}=\left\{{\begin{array}{*{35}{l}}1\quad \quad \quad l=k\\0\quad \quad \quad l\neq k\\\end{array}}\right.$

מכאן נקבל כי:

$u_{i}\left(A_{k}\right)=\theta _{i}^{k}\quad \forall k\in \left\{1,\ldots ,K\right\}$

מכיוון ש-$\theta _{i}^{1}=0$ ו-$\theta _{i}^{K}=1$, נקבל כי $u_{i}\left(A_{1}\right)=0$ ו-$u_{i}\left(A_{K}\right)=1$.

שלב שלישי: $\,u_{i}$ ליניארית.

כדי להראות ש-$\,u_{i}$ ליניארית, נראה כי לכל הגרלה פשוטה $L=\left[p_{1}\left(A_{1}\right),\ldots ,p_{K}\left(A_{K}\right)\right]$ מתקיים:

$u_{i}\left(L\right)=\sum \limits _{k=1}^{K}{{p_{k}}{u_{i}}\left(A_{k}\right)}\$

אך משוואה זו מתקיימת, שכן משלב ראשון אגף שמאל שווה ל-$\sum \nolimits _{k=1}^{K}{{p_{k}}{\theta _{i}^{k}}}$, ומשלב שני אגף ימין שווה אף הוא לגודל זה.

שלב רביעי: $\,u_{i}$ הינה פונקציית תועלת.

כדי להראות כי $\,u_{i}$ הינה פונקציית תועלת המייצגת את יחס ההעדפות $\succsim _{i}$ יש להראות כי לכל שתי הגרלות מורכבות ${\hat {L}}$ ו-${\hat {L}}'$ מתקיים:

$u_{i}\left({\hat {L}}\right)\geq u_{i}\left({\hat {L}}'\right)$ אם ורק אם ${\hat {L}}\succsim _{i}{\hat {L}}'$

תהיינה, אם כן, ${\hat {L}}$ ו-${\hat {L}}'$ שתי הגרלות מורכבות. נסמן:

${\hat {L}}=\left[q_{1}\left(L_{1}\right),\ldots ,q_{J}\left(L_{J}\right)\right]\quad ,\quad {\hat {L}}'=\left[q'_{1}\left(L'_{1}\right),\ldots ,q'_{J'}\left(L'_{J'}\right)\right]$

כאשר

$L_{j}=\left[p_{1}^{j}\left(A_{1}\right),\ldots ,p_{K}^{j}\left(A_{K}\right)\right]\quad \forall j\in \left\{1,\ldots ,J\right\}\quad ,\quad L'_{j}=\left[{p'}_{1}^{j}\left(A_{1}\right),\ldots ,{p'}_{K}^{j}\left(A_{K}\right)\right]\quad \forall j\in \left\{1,\ldots ,J'\right\}$

לכל $k\in \left\{1,\ldots ,K\right\}$ נסמן:

$r_{k}=\sum \limits _{j=1}^{J}{{q_{j}}{p_{k}^{j}}}\quad ,\quad r'_{k}=\sum \limits _{j=1}^{J'}{{q'_{j}}{{p'}_{k}^{j}}}$

אלו ההסתברויות לקבלת התוצאה $\,A_{k}$ בשתי ההגרלות המורכבות ${\hat {L}}$ ו-${\hat {L}}'$. מהגדרת פונקציית התועלת,

$u_{i}\left({\hat {L}}\right)=\sum \limits _{k=1}^{K}{{r_{k}}{\theta _{i}^{k}}}\quad ,\quad u_{i}\left({\hat {L}}'\right)=\sum \limits _{k=1}^{K}{{r'_{k}}{\theta _{i}^{k}}}$

לכן,

$u_{i}\left({\hat {L}}\right)\geq u_{i}\left({\hat {L}}'\right)\quad \iff \quad \sum \limits _{k=1}^{K}{{r_{k}}{\theta _{i}^{k}}}\geq \sum \limits _{k=1}^{K}{{r'_{k}}{\theta _{i}^{k}}}$

מצד שני, מאקסיומת הפישוט,

${\hat {L}}\approx _{i}\left[r_{1}\left(A_{1}\right),r_{2}\left(A_{2}\right),\ldots ,r_{K}\left(A_{K}\right)\right]\quad ,\quad {\hat {L}}'\approx _{i}\left[r'_{1}\left(A_{1}\right),r_{2}\left(A_{2}\right),\ldots ,r'_{K}\left(A_{K}\right)\right]$

נסמן $L_{k}=\left[\theta _{i}^{k}\left(A_{K}\right),\left(1-\theta _{i}^{k}\right)\left(A_{1}\right)\right]$. אזי על פי הגדרת $\theta _{i}^{k}$ מתקיים $A_{k}\approx _{i}L_{k}$ לכל $k\in \left\{1,\ldots ,K\right\}$. מאקסיומת ההצבה המופעלת $\,K$ פעמים, הן עבור ${\hat {L}}$ והן עבור ${\hat {L}}'$, מתקיים:

${\hat {L}}\approx _{i}\left[r_{1}\left(L_{1}\right),r_{2}\left(L_{2}\right),\ldots ,r_{K}\left(L_{K}\right)\right]\quad ,\quad {\hat {L}}'\approx _{i}\left[r'_{1}\left(L_{1}\right),r'_{2}\left(L_{2}\right),\ldots ,r'_{K}\left(L_{K}\right)\right]$

כיוון שכל ההגרלות $\,L_{k}$ הן הגרלות על $\,A_{1},A_{K}$ ההגרלות באגף ימין של שתי המשוואות לעיל אף הן על שתי תוצאות אלו בלבד. לכן אם נסמן ב-$\,r$ ו-$\,r'$ את ההסתברות הכוללת של $\,A_{K}$ בהגרלות ${\hat {L}}$ ו-${\hat {L}}'$ בהתאמה, אזי

$r=\sum \limits _{k=1}^{K}{{r_{k}}{\theta _{i}^{k}}}\quad ,\quad r'=\sum \limits _{k=1}^{K}{{r'_{k}}{\theta _{i}^{k}}}$

ומאקסיומת הפישוט, נובע:

${\hat {L}}\approx _{i}\left[r\left(A_{K}\right),\left(1-r\right)\left(A_{1}\right)\right]\quad ,\quad {\hat {L}}'\approx _{i}\left[r'\left(A_{K}\right),\left(1-r'\right)\left(A_{1}\right)\right]$

מאקסיומת המונוטוניות,

${\hat {L}}\succsim _{i}{\hat {L}}'\quad \iff \quad r\geq r'$.

לכן, בסה"כ,

${\hat {L}}\succsim _{i}{\hat {L}}'\quad \iff \quad u_{i}\left({\hat {L}}\right)\geq u_{i}\left({\hat {L}}'\right)$.

כנדרש.

לקריאה נוספת

• שמואל זמיר, מיכאל משלר, אילון סולן, תורת המשחקים, הוצאת הספרים ע"ש י"ל מאגנס, 2008.