הצמדה (תורת החבורות)
מראה
בתורת החבורות, הצמדה היא סוג של פעולה של חבורה על עצמה. הצמדה של באמצעות היא הפעולה . הצמדה מהווה אוטומורפיזם פנימי של החבורה על עצמה. פעולת ההצמדה מסומנת גם בצורות הבאות:
איברים צמודים ומחלקת צמידות
[עריכת קוד מקור | עריכה]נאמר על שני איברים ו- בחבורה שהם איברים צמודים אם קיים כך שמתקיים:
יחס הצמידות בין איברים הוא יחס שקילות:
- רפלקסיביות - כל איבר צמוד לעצמו מכיוון שמתקיים:
- .
- סימטריות - אם אז:
- .
- טרנזיטיביות - אם ו- אז:
אוסף האיברים בחבורה שצמודים לאיבר נתון נקראת מחלקת הצמידות של . מכיוון שצמידות היא יחס שקילות, כל מחלקת צמידות היא מחלקת שקילות – כל איבר בחבורה נמצא במחלקת צמידות אחת בדיוק.
דוגמאות
[עריכת קוד מקור | עריכה]- יחס הדמיון בין מטריצות הוא למעשה יחס הצמידות. שתי מטריצות שונות הן צמודות אם ורק אם הן מייצגות את אותה העתקה ליניארית בבסיסים שונים.
- שתי תמורות הן צמודות אם יש להן אותו מבנה מחזורים. כלומר אם לכל מחזור בפירוק של תמורה אחת מתאים מחזור באותו האורך בפירוק של התמורה האחרת.
תכונות
[עריכת קוד מקור | עריכה]- פעולת ההצמדה מתחלפת עם פעולת הכפל: . במילים אחרות הפונקציה היא אוטומורפיזם. אוטומורפיזם מהצורה הזו נקרא אוטומורפיזם פנימי (ראו חבורת האוטומורפיזמים). מתכונה זו נובע בין השאר:
- אם צמודים, אז גם צמודים.
- לאיברים צמודים יש את אותו הסדר.
- כל איבר במרכז של חבורה צמוד רק לעצמו (). בפרט, איבר היחידה צמוד רק לעצמו, ובחבורה אבלית כל מחלקות הצמידות הן יחידונים.
- מספר האיברים שצמודים לאיבר נתון הוא האינדקס של המְרַכֵּז של האיבר (חבורת האיברים שמתחלפים עם האיבר). שוויון זה מוביל למשוואת המחלקות בחבורה סופית: