Aksiomi Kolmogorova ili aksiomi vjerojatnosti temelj su suvremene teorije vjerojatnosti koje je uveo čuveni ruski matematičar Andrej Kolmogorov u svojim radovima 1933. godine.[1]
Prvi opis ovih aksioma može se naći u knjizi Opća teorija mjere i teorija vjerojatnosti iz 1929. Četiri godine kasnije, 1933., Kolmogorov je svoje aksiome formalno uveo u djelu Osnove teorije vjerojatnosti.[2]
Neka je
izmjeriv prostor. Funkcija
jest vjerojatnost (na
, na
) ako vrijedi:
za svaki događaj
(nenegativnost vjerojatnosti),
(normiranost vjerojatnosti),
i
za
povlači
(σ-aditivnost ili prebrojiva aditivnost vjerojatnosti).
Uređena trojka
gdje je
σ-algebra na nepraznom skupu
i
vjerojatnost na
, zove se vjerojatnosni prostor. Elemente σ-algebre
zovemo događaji, a za
broj
zovemo vjerojatnost događaja
.[3]
Iz Kolmogorovljevih aksioma slijedi niz korisnih svojstava vjerojatnosti. Dokazi ovih svojstava dobro ilustriraju moć trećega aksioma.
Monotonost vjerojatnosti[uredi | uredi kôd]
![{\displaystyle \quad {\text{ako}}\quad A\subseteq B\quad {\text{tada}}\quad P(A)\leq P(B).}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9EoAo4aAe4o2e2ote4oAi5o2e5zNG1ajC1oDdBntm5yjm5ntBBntK2)
Ako je A podskup od B, tada je vjerojatnost od A manja ili jednaka od vjerojatnosti od B.
Dokaz monotonosti vjerojatnosti[uredi | uredi kôd]
Neka su
i
, gdje je
i
za
. Iz svojstava praznoga skupa (
), lako se vidi da su
u parovima disjunktni i
. Dakle, iz trećega aksioma slijedi da je
![{\displaystyle P(A)+P(B\setminus A)+\sum _{i=3}^{\infty }P(E_{i})=P(B).}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8PatvDztsPaghEngrAnAi0oDG1aNi5atlCzjrDaqa3oDvByjsOngiO)
Po prvome aksiomu, lijeva strana jednakosti je niz nenegativnih realnih brojeva, a kako teži u
slijedi
i
.
Vjerojatnost praznog skupa[uredi | uredi kôd]
![{\displaystyle P(\varnothing )=0.}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO83zDGPz2s2nAw5o2a0aqiNntG0zgo1zjm1ytmPaNdDaNnDnDBEoqvB)
Često,
nije jedini događaj s vjerojatnošću 0.
Dokaz vjerojatnosti praznog skupa[uredi | uredi kôd]
jer je
,
koristeći treći aksiom na lijevoj strani jednakosti i uzevši u obzir da je
disjunktan sa samim sobom dobije se
oduzimanjem
od obje strane jednadžbe.
Dokaz pravila komplementa[uredi | uredi kôd]
Kako su
i
međusobno isključivi i kako je
:
(po trećemu aksiomu)
i,
(po drugome aksiomu)
pa je konačno
.