Gumbel-eloszlás

A valószínűség-számítás elméletében és a statisztika területén a Gumbel-eloszlás egy olyan valószínűség-eloszlás, mely különböző eloszlások mintái alapján a maximum vagy minimum értékek eloszlásait jósolja meg.

Az eloszlást kidolgozójáról, Emil Julius Gumbel-ról nevezték el, aki német matematikus volt (1891–1966).

Az eloszlás alkalmazására egy példa: A Gumbel eloszlás használható arra az esetre, amikor egy folyó maximális szintjének eloszlására vagyunk kiváncsiak egy adott évben, ha ismerjük az elmúlt 10 év maximális értékeit. Továbbá hasznos lehet megjósolni egy nagy földrengés, áradás vagy más természeti katasztrófa valószínűségét is, melyre a Gumbel-eloszlás alkalmas.

A Gumbel eloszlás az általánosított extrémérték-eloszlás partikuláris esete (Fisher-Tippett eloszlásnak is hívják), továbbá log-Weibull eloszlásként , és dupla-exponenciális eloszlásként is ismert. Időnként helytelenül a Gompertz-eloszlással azonosítják.

Tulajdonságok

A Gumbel eloszlás kumulatív eloszlás függvénye:

$F(x;\mu ,\beta )=e^{-e^{-(x-\mu )/\beta }}.\,$

A medián: $\mu -\beta \ln \left(\ln 2\right)$

A középérték:

$\mu +\gamma \beta$ ahol $\gamma$ = Euler-Mascheroni állandó $\approx$ 0.5772156649015328606

A standard eltérés:

$\beta \pi /{\sqrt {6}}.\,$

A módusz: μ

A standard Gumbel-eloszlás

A standard Gumbel-eloszlás az az eset, amikor μ = 0 és β = 1, a kumulatív eloszlás függvénnyel:

$F(x)=e^{-e^{(-x)}}\,$

és a valószínűség sűrűség függvény

$f(x)=e^{-x}e^{-e^{-x}}.$

The medián: $-\ln(\ln(2))\approx$ 0.36651292058166432701.

A középérték: $\gamma$, Euler-Mascheroni állandó $\approx$ 0.5772156649015328606.

A standard eltérés:

$\pi /{\sqrt {6}}\approx$ 1.28254983016186409554.

A módusz: 0.

Paraméter becslés

Az eloszlás egy gyakorlatiasabb használati módja lehet:

$F(x;\mu ,\beta )=e^{-e^{\varepsilon (\mu -x)/(\mu -M)}};$

$\varepsilon =\ln(\ln(2))=-0.367\dots \,$

ahol M a medián.

Gumbel valószínűségi változók generálása

Ha adva van egy U valószínűségi változó az állandó eloszlásból [0, 1] tartományban, akkor a valószínűségi változó Gumbel eloszlású μ és β paraméterekkel. Ez a kumulatív eloszlás függvényből következik.

$X=\mu -\beta \ln(-\ln(U))\,$

Kapcsolódó eloszlások

Ha Y-nál a cdf a Gumbel standard kumulatív eloszlás ellentéte, $P(Y\leq y)=1-F(y)$,akkor Y egy Gompertz-eloszlás.

1-típusú Gumbel eloszlás

• 1-típusú Gumbel eloszlás

2-típusú Gumbel eloszlás

• 2-típusú Gumbel eloszlás

Alkalmazás

Gumbel kimutatta, hogy egy valószínűségi változó mintájában a maximimális érték, mely exponenciális eloszlást követ, a Gumbel-eloszláshoz közelít a minták számának növelésével.

Ezért a Gumbel-eloszlást használják a hidrológiában a napi-, havi-, és évi esőzések maximumának jóslására, valamint a folyók szélsőséges mozgására.

Gumbel azt is kimutatta, hogy a r / (n+1) esztimátor egy esemény valószínűségére – ahol r egy adat sorozat sorszáma és n az összes megfigyelés száma – adott kumulatív valószínűség, eltérés nélküli esztimátor, ezért ezt az esztimátort gyakorta használják ábrázolásra is.

Kapcsolódó szócikkek

• 1-típusú Gumbel eloszlás
• 2-típusú Gumbel eloszlás
• Valószínűség-számítás
• Statisztika
• Matematikai statisztika
• Normális eloszlás
• Exponenciális eloszlás
• Szórás
• Gamma-eloszlás
• Valószínűségi változó
• Szórásnégyzet
• Karakterisztikus függvény
• Lapultság
• poli-Weibull-eloszlás
• Fréchet-eloszlás
• Általánosított extrémérték-eloszlás
• Hatványozott Weibull-eloszlás
• Extrémérték-elmélet
• Nyújtott exponenciális függvény