A hatványsor a valós és a komplex analízisben egy
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-x_{0})^{n}.}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8PntK4njJCz2rEoNoQyjBFzjC4oqvFytBEotG2oAhBotK0aDJBo2a1)
alakú végtelen összeg, ahol
tetszőleges valós vagy komplex számsorozat. Az
szám a hatványsor középpontja; egy ekörüli körlapon konvergál a hatványsor. A konvergenciatartomány lehet:
- egyedül a középpont
- valósban egy véges szakasz, vagy komplexben egy véges körlap
- az egész
vagy
.
A hatványsort formálisan felírva, absztrakt módon is alkalmazzák például a leszámlálásokhoz.
Az
körüli hatványsor konvergenciasugara az a legnagyobb szám, amit
-rel jelölve a hatványsor minden
-re konvergens, amire
. Vagyis a konvergenciasugár a konvergenciakör sugara. Ha a konvergencia a középpontra korlátozódik, akkor a hatványsort sehol sem konvergensnek tekintik; ha minden pontban konvergens, akkor mindenütt konvergens, a konvergenciasugár végtelen.
A konvergenciasugár a Cauchy-Hadamard-képlettel számítható:
![{\displaystyle r={\frac {1}{\limsup \limits _{n\rightarrow \infty }\left({\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}\right)}}.}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO83nDoOatFDaDeNaDm3yqsNnAs2ngoQytBAz2vDaqeOytzFaNi2zjC0)
Sok esetben a hatványsor egyszerűbben is számítható. Ugyanis, ha a hatványsor együtthatói között legfeljebb véges sok nulla van, akkor:
![{\displaystyle r=\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right|,}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8NyqhAnDnAatsNzDhCoDaNaDdAytvEoAo2njhBotvBaDKOoDeNajhF)
hogyha a határérték létezik.
A konvergencia fajtái és a konvergenciasugár kapcsolata:
esetén a hatványsor abszolút konvergens
- ha
, akkor divergens
- hogyha
, akkor nem lehet semmit sem mondani a konvergenciáról
- ha pedig
, akkor a hatványsor egyenletesen is konvergens minden
-re, amire
.
Ha
és
hatványsorok,
![{\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-x_{0})^{n}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO80njK1otm3zgvDajBFyji3z2aPnDeOotGOatBFaNrBzjs3yqa0nDmN)
![{\displaystyle g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-x_{0})^{n}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9Baqe4nAo2z2rCatsQatm1ngrDoqnBzNiNoti2oNvFztJAzqhEnghD)
c komplex szám, és mindkét hatványsor konvergens egy r sugarú körben,
akkor a
és
hatványsorok is konvergensek r sugarú körben, és
![{\displaystyle f(x)+g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(a_{n}+b_{n})(x-x_{0})^{n}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9Dzjw4yja0zNe5oNJCygnBaNFAnjKQzAw0zqwPyqwQyqwOzNFDaNJD)
![{\displaystyle cf(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(ca_{n})(x-x_{0})^{n}.}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9CzNrEntBDzgvCzghCaNs5oDe2nDnFzqnAagvBytiQaji4aNK3nAi0)
Ha két hatványsor konvergens egy r sugarú körben, akkor szorzatuk is konvergens r sugarú körben, és
![{\displaystyle {\begin{aligned}f(x)g(x)&=\left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-x_{0})^{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-x_{0})^{n}\right)\\&=\sum _{i=0}^{\infty }\sum _{j=0}^{\infty }a_{i}b_{j}(x-x_{0})^{i+j}=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}\right)(x-x_{0})^{n}\end{aligned}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO85oAhFyqs1zNe2otm4ngePzDw1nDJCzDC0ageNata3ajFEygaNoNK0)
ahol
az
és a
sorozatok konvolúciója.
Egy hatványsor mindig differenciálható konvergenciakörének belsejében, és deriváltja tagonkénti differenciálással adódik:
![{\displaystyle f^{\prime }(x)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n\left(x-x_{0}\right)^{n-1}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n+1}\left(n+1\right)\left(x-x_{0}\right)^{n}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO84ngnBzqw0zjC5aDi5njFDztaNaNlEoAvAoNhBnqdEaDi0zNlAzDvD)
A hatványsor akárhányszor differenciálható, ezért az előbbi számolási módszer többszöri alkalmazásával
![{\displaystyle f^{(k)}(x)=\sum _{n=k}^{\infty }{\frac {n!}{(n-k)!}}a_{n}(x-x_{0})^{n-k}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(n+k)!}{n!}}a_{n+k}(x-x_{0})^{n}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO83zjG0o2a4aAe1zta5aAi3ntm0agzDoqhFoNGQaNrCzjG5ajo1yjG3)
Hasonlóan számítható a primitív függvény:
![{\displaystyle \int f(x)\,dx=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n+1}}{n+1}}+C=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n-1}\left(x-x_{0}\right)^{n}}{n}}+C}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9Coqo5zgnAzjhFnqi4nAo2zNhCz2oNaDsPytlDoAeOytzEygo4aqo3)
Mindezek a hatványsorok ugyanott konvergensek, mint az eredeti.
- A polinomok olyan hatványsoroknak tekinthetők, melyek véges sok nem nulla együtthatós tagot tartalmaznak
- Exponenciális függvény:
,
- a konvergenciasugár végtelen
- Logaritmus,
.
- A konvergenciasugár 1;
-ben konvergens,
-re divergens
- Négyzetgyök,
,
- a konvergenciasugár 1, és a sor
-ben és
-ben is konvergál
- Hatványsor (saját középpontjához tartozó) Taylor-sora előállítja magát a hatványsort