A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
A Legendre-szimbólum a számelmélet egyik hasznos eszköze. Adrien-Marie Legendre francia matematikus (1752–1833) vezette be Essai sur la Thérie des Nombres c. 1798-as munkájában.
Ha
prímszám és
egész szám, akkor az
Legendre-szimbólum értéke:
- 0, ha
osztja
-t,
- 1, ha
kvadratikus maradék
-re nézve – azaz van olyan egész
hogy
,
- –1, ha
kvadratikus nemmaradék
-re nézve, tehát nincs fenti tulajdonságú
egész szám
A Legendre-szimbólumot tulajdonságai gyorsan számolhatóvá teszik:
(felső változójában teljesen multiplikatív függvény)
- Ha
, akkor ![{\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)=\left({\frac {b}{p}}\right)}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8OaAa1a2w2zDlFnqw2aNKNntC5oDFBagnBoDJCytGQati4zAeOnjwP)
![{\displaystyle \left({\frac {1}{p}}\right)=1}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9CnDhEoNo2oAeQzDG0zqdEzgwOnja5ajFAyqhEa2w3aDw5aNG3zgzB)
- Ha
páratlan prím, akkor
, azaz 1, ha
és – 1, ha ![{\displaystyle p\equiv 3{\pmod {4}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO83nDm3ntlAoNa2nDrEotK0oNdAo2zEaje3zAnAaDsNotmQaAdByjFA)
- Ha
páratlan prím, akkor
, ami 1, ha
vagy
és – 1, ha
vagy ![{\displaystyle 5{\pmod {8}}\,}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9Aaga1nts3yjK3aNGNnjrEzDo4aNsOntFCoNJDaqo3ngzBnDm4ztzB)
- Ha
és
páratlan prímszámok, akkor ![{\displaystyle \left({\frac {q}{p}}\right)=\left({\frac {p}{q}}\right)(-1)^{{\frac {p-1}{2}}\cdot {\frac {q-1}{2}}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9Ao2dBnghBaghDzNzDagnAaAw5ajKPaDvEathFyjBBzDi3yjFEo2hF)
Az utóbbi állítás a kvadratikus reciprocitás tétele.
Fontos tulajdonság még az Euler-kritérium:
![{\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)\equiv a^{\frac {p-1}{2}}{\pmod {p}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9FnjeOyjw5nDePyqsPoDvFnqw5oDdDzgrEnjKPyte4ati5o2oOnAeN)
A Legendre-szimbólum fontos példa Dirichlet-karakterre.
A Jacobi-szimbólum a Legendre-szimbólum általánosítása összetett számokra.