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アーノルド・ウォルフィッツ
解析的整数論における、ジーゲル・ウォルフィッツの定理(英: Siegel–Walfisz theorem)は、カール・ジーゲルによる定理[1]の算術級数における素数(英語版)(primes in arithmetic progression)への応用として、アーノルド・ウォルフィッツ(英語版)(Arnold Walfisz)により得られた。[2]
![{\displaystyle \psi (x;q,a)=\sum _{n\leq x \atop n\equiv a{\pmod {q}}}\Lambda (n)}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9BoNFEntvAaji4nDaOztiPnDaNnji1oDm5z2w3ytw2yjaNajC5ajG2)
と定義する。ここに
はフォン・マンゴルト函数 で
オイラーのトーシェント函数とする。定理は、任意の実数 N に対し、N のみに依存する以下を満たす正の定数
が存在することを主張する。(a, q) = 1 かつ
![{\displaystyle q\leq (\log x)^{N}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO85yqe5yge5atrEzDrEngvFoDw1ygaPytdBnAiQnDnCzjG5zDK1a2dA)
であるときは、必ず
![{\displaystyle \psi (x;q,a)={\frac {x}{\varphi (q)}}+O\left(x\exp \left(-C_{N}(\log x)^{\frac {1}{2}}\right)\right)}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO83oDlAytdAoNePaNdAnjnBaqiQnqzDoNrCnAzFntCQnDiOyjnCzDw2)
となる。
定数
は計算可能ではないため、ジーゲルの定理は有効でない。
定理より、次の形の算術級数の素数定理を導くことができる。(a, q) = 1 に対し、
により、mod q で a に合同な、x 以下の素数の個数を表すとすると、
![{\displaystyle \pi (x;q,a)={\frac {{\rm {Li}}(x)}{\varphi (q)}}+O\left(x\exp \left(-{\frac {C_{N}}{2}}(\log x)^{\frac {1}{2}}\right)\right),}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO83nqrDnqePats3ztG4ygvDnAeOnDrCatCOa2aNoAdFyqeOoNm4nAw5)
となる。ここに N, a, q, CN, φ は定理のもの、Li は補正対数積分である。
- ^ Siegel, Carl Ludwig (1935). “Über die Classenzahl quadratischer Zahlkörper [On the class numbers of quadratic fields]” (ドイツ語). Acta Arithmetica 1 (1): 83–86. http://pldml.icm.edu.pl/pldml/element/bwmeta1.element.bwnjournal-article-aav1i1p83bwm?q=bwmeta1.element.bwnjournal-number-aa-1935-1-1;6.
- ^ Walfisz, Arnold (1936). “Zur additiven Zahlentheorie. II ”. Mathematische Zeitschrift 40 (1): 592–607. doi:10.1007/BF01218882. (ドイツ語)