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メンガーのスポンジとは自己相似なフラクタル図形の一種であり、立方体に穴をあけたものである。そのフラクタル次元(ハウスドルフ次元、相似次元)は 次元である。メンガーのスポンジの面は同じくフラクタル図形のシェルピンスキーのカーペットでできている。
メンガーのスポンジはフラクタル図形であるため、正確に作図することはできない。
メンガーのスポンジの次元は2より大きいため、2次元的な大きさである面積は無限である。
表面積が1となる大きな立方体から穴を空けてメンガーのスポンジを構成する場合、一度目の穴を空けると、その表面積は増加する。
穴を空ける回数をとすると、その表面積はと表すことができ、これは無限回繰り返した時、無限大に発散する。
メンガーのスポンジの次元は3より小さい(2.73次元)ため、3次元的な大きさである体積は 0 である。
実際、体積が1となる大きな立方体から穴を空けてメンガーのスポンジを構成する場合、一度穴を空ける毎にその体積はずつ減少するため、穴を空ける回数をとすると最終的に体積はとなりに収束する。
厳密な定義[編集]
メンガースポンジの厳密な定義は以下である:
ここで は単位立方体で、
関連項目[編集]