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![曖昧さ回避](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO91KgPRoqwSJ2BVMq1BngBFbA9OnO93MqTXKgrCMqiRo29TLq9SKO90MfrToE81bNrAb0vXK2hToABZp2JOopCSK3nZbNe1KfGTvgBNoq1EMqJHn3dFIu5NJAKSKg5Z) |
この項目では、確率論のモーメントについて説明しています。数学のモーメントについては「モーメント (数学)」を、物理量のモーメントについては「モーメント」をご覧ください。 |
確率論や統計学におけるモーメント(英: moment)または積率(せきりつ)とは、確率変数のべき乗に対する期待値で与えられる特性値。
定義と性質[編集]
X を確率変数、α を定数としたときに、α に関するn次モーメント (n-th order moment) は次で定義される。
![{\displaystyle \langle (X-\alpha )^{n}\rangle \quad n=1,2,\dots }](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO83nAs3nAnAntwOnqwOaAsNoAdEyjG3aAw2ags3oqo0ytFDyteOntCQ)
ここで、⟨…⟩ は期待値を取る操作を表す。
X が離散型の場合は、
![{\displaystyle \langle (X-\alpha )^{n}\rangle =\sum _{i=1}^{\infty }(x_{i}-\alpha )^{n}\Pr(X=x_{i})}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8Page4aqnAntaPa2s3z2dEnjaNagw5zjhEzAvDyti2zjJBzAzFzjrA)
ここで x1, x2, … は確率変数 X の実現値である。
X が連続型の場合は、
![{\displaystyle \langle (X-\alpha )^{n}\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }(x-\alpha )^{n}p(x)\,dx}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9Eo2ePz2nEotzAoNK1ytw3zNhBnjm0zAe1nDCQajmNotG3zAe3ota1)
ここで p(x) は確率変数 X の確率密度関数である。
特に α = 0 の場合に、モーメントは mn と記される。
![{\displaystyle m_{n}=\langle X^{n}\rangle \quad n=1,2,\dots }](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO82age3nDs4ngdFoqrEzgi0atnDaNvCnAe2oNCNyte4njC4zDi0aDw4)
期待値 μ は 1次のモーメント m1 に等しい。分散 σ2 は これと2次のモーメント、つまり m1, m2 を用いて表すことができる。すなわち、
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mu &=m_{1},\\\sigma ^{2}&=m_{2}-{m_{1}}^{2}.\end{aligned}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9FzjK2oNw0nAsOotvAa2zBz2dBnAeOaNK4aja5ote0ztKNajm4zqs0)
m1 に関する n 次モーメントを μn で表し、n 次の中心モーメント (n-th order center moment)、またはn 次の中心化モーメントという。
![{\displaystyle \mu _{n}=\langle (X-m_{1})^{n}\rangle \quad n=1,2,\dots }](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9Fnjo0njsOnji5aNnBoNhDntK0ytoNytm5nAw4ntFEnqo0atzDoNsN)
ここで、2次の中心モーメント μ2 は分散と一致する。
一般の確率分布において、モーメントは必ずしも有限値として存在するとは限らない。実際、コーシー分布
![{\displaystyle p(x)={\frac {1}{\pi }}{\frac {1}{x^{2}+1}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO81njaQyjwQaAnAytzCyjdFyja3yga2zDBCotrBajFDzjwOnts2zjo4)
において、モーメントは全て無限大に発散する[1]。
積率母関数による表示[編集]
確率変数 X の積率母関数を次の式で定義する:
![{\displaystyle {\begin{aligned}M(\xi )&:=\langle e^{\xi X}\rangle \\&=\int _{-\infty }^{\infty }e^{\xi x}p(x)\,dx\end{aligned}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8QajzAaNs0ytnBzNs3ote1zNm2oNs3yqe0oNhAzghDnjGOntvDzDa1)
その級数表示
![{\displaystyle M(\xi )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\langle X^{n}\rangle }{n!}}\xi ^{n}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO84nqw4nAdDzNG2oNhBajw4ntzFntsNatCOotlEoAnAotG3ngs2oDCQ)
においては、ξ の n 次の項の係数部分に n 次のモーメント mn = <Xn> が現れる。この関係からモーメントは、モーメント母関数の導関数によって、次のように与えることができる。
![{\displaystyle m_{n}={\frac {d^{n}M(\xi )}{d\xi ^{n}}}{\biggr \vert }_{\xi =0}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO80ntwNoAw1ajm1nti0oDiNntKQzgo5oNCNotFFntGQatdEaDe2oNnE)
特性関数による表示[編集]
確率変数Xに対する特性関数を次のように定義する:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (\xi )&:=\langle e^{i\xi X}\rangle \\&=\int _{-\infty }^{\infty }e^{i\xi x}p(x)\,dx\end{aligned}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8NygiPyjJCoAzDajnDnqsQothBzDnDatlDo2aQzje0aAi4njdCyqo5)
特性関数についても、その級数表示において、n 次のモーメントは ξ の n 次の項の係数に現れる。
![{\displaystyle \Phi (\xi )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\langle X^{n}\rangle }{n!}}(i\xi )^{n}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8PatBCzAhEa2sOoNe4zgdCoNm0ajvBoAeQyje2otdEzqvAnga5yjsQ)
この関係からモーメントは、特性関数の導関数によって、次のように与えることができる。
![{\displaystyle m_{n}={\frac {1}{i^{n}}}{\frac {d^{n}\Phi (\xi )}{d\xi ^{n}}}{\biggr \vert }_{\xi =0}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9Fzqi3nghBa2i2zArBaDC4zjJCaNs2ago1oNCOnDBAz2s5aDsNatzF)
キュムラントとの関係[編集]
n 次のキュムラントは、n 次以下のモーメントで表すことができる。
![{\displaystyle {\begin{aligned}c_{1}&=m_{1}\\c_{2}&=m_{2}-{m_{1}}^{2}\\c_{3}&=m_{3}-3m_{1}m_{2}+2{m_{1}}^{3}\\c_{4}&=m_{4}-4m_{3}m_{1}-3{m_{2}}^{2}+12m_{2}{m_{1}}^{2}-6{m_{1}}^{4}\\&\vdots \end{aligned}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8QajBAngdFzNe1oDvEztw2oDKNzDhEzqhDaNFDagi2atlCaDaNntw4)
逆に、n 次のモーメントは、n 次以下のキュムラントで表すことができる。
![{\displaystyle {\begin{aligned}m_{1}&=c_{1}\\m_{2}&=c_{2}+{c_{1}}^{2}\\m_{3}&=c_{3}+3c_{1}c_{2}+{c_{1}}^{3}\\m_{4}&=c_{4}+3{c_{2}}^{2}+4c_{1}c_{3}+6{c_{1}}^{2}c_{2}+{c_{1}}^{4}\\&\vdots \end{aligned}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8OnqnFaNe5zqi1oDGQnDCQytG0oqoOnqhBa2nDyji0z2oQoqo0ztrB)
ポアソン分布[編集]
確率質量関数が
![{\displaystyle P(x=k)={\frac {\lambda ^{k}e^{-\lambda }}{k!}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9BzNwOzNe2aDFEzqi1ztJBaqiNoDwQzDo4nqw0nAzEoDeQothBzgi2)
で与えられるポアソン分布において、モーメントは次のように与えられる。
![{\displaystyle {\begin{aligned}m_{1}&=\lambda \\m_{2}&=\lambda ^{2}+\lambda \\m_{3}&=\lambda ^{3}+3\lambda ^{2}+\lambda \\&\vdots \end{aligned}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO85ota0ntC1zNe1njo2njeQagi5ytzBytlBoAo4ajdEatrFzDnDaDvC)
正規分布[編集]
確率密度関数が
![{\displaystyle p(x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}\exp \left({-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\right)}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8OzDGPaqe1aNGPaNnDaDBCa2w5ntrCoDdCo2vDngo2oNC0zqvAz2o4)
で与えられる正規分布において、n 次の中心モーメントは n が奇数のときは 0 で、偶数のときのみ 0 でない値をとる。
![{\displaystyle \mu _{n}={\begin{cases}0&(n:{\text{odd}})\\(n-1)!!~\sigma ^{n}&(n:{\text{even}})\end{cases}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8PzjnBzAa0otKOaNKNytm1yqrEzDiPo2e0zDCPnjC5oqoOoAnBntzC)
n!! は二重階乗。
- ^ コーシー分布の特性関数
![{\displaystyle \Phi (\xi )=e^{-|\xi |}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9BnAsNzAdAnjC1nqiQntm5ajBFnAwQyge5o2sNo2iPnAw2nqrEzgnF)
は、0 において解析的ではなく、このことからもモーメントが存在しないことが分かる。
参考文献[編集]
関連項目[編集]