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リー代数の随伴表現(リーだいすうのずいはんひょうげん、英: adjoint representation of a Lie algebra)とは、リー代数
の交換子を用いて定義されるリー代数から
への準同型写像のことをいう。
をリー代数とする。
に対し
を
![{\displaystyle ad_{x}(y)=[x,y]}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO84aNoQoqeOntKPnjrCnjdAzjmQzDnFaDFEoqvFajJFztvFnjhEyqe1)
によって定める。このとき
は線型変換であり、リー代数からベクトル空間へ準同型
![{\displaystyle ad:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}}),\quad x\mapsto ad_{x}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9DajC2zti2oNlBzji5oDw1ztrDnjwPytCPzjaNoNvCa2s0zAsOntdC)
をリー代数
の随伴表現という。
に対して、
。
リー群
の単位元における接空間
を
に付随するリー代数という。
の随伴表現を
とすると、
![{\displaystyle d(Ad)_{e}=ad:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8PzqhFyjdEzDeOz2zEzNC0ztaPzNeQyje0ntmNathCzqvBoNzCoDo4)
が成り立つ。