連続の方程式(れんぞくのほうていしき、英: equation of continuity、連続方程式、連続の式、連続式などとも言う)は物理学で一般的に適用できる方程式で、「原因もなく物質が突然現れたり消えたりすることはない」という自然な考え方を表す。
保存則と密接に関わっている。
狭義には、流体力学における質量保存則
![{\displaystyle {\partial \rho \over {\partial t}}+\nabla \cdot (\rho {\boldsymbol {v}})=0}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8NyjvEzDrFzjiNzqe0nAnDzDnAoNGNajvAa2wNzqa5njvCnAhCnqe0)
- (ρは密度、v は流れの速度、t は時間である。∇はナブラを参照。)
あるいは、この式を非圧縮性流体に適用した
![{\displaystyle \nabla \cdot {\boldsymbol {v}}=0}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO82zNePoNvEztdAngdFa2e1atdFoDi2nAhFyga3a2zBatGNzji1aAhC)
を指す。
広義には、スカラー物理量 q についての保存則
![{\displaystyle {\partial \rho \over \partial t}+\nabla \cdot {\boldsymbol {j}}=0}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9Baja4o2wOnteOztoNajlAyqvDzDoNnqnDzqi2yjG4yqiQoDiNnqzA)
- (ρ:q の密度、j:q の流束)
あるいは、更に一般化して、q の輸送方程式(一般の保存則)
![{\displaystyle {\partial \rho \over \partial t}+\nabla \cdot {\boldsymbol {j}}=\sigma }](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO81nge0oAw5aqo5ote4aDiOygdDoAsQoNG0ajaOzDGQytw0otC1ajK5)
- (σ:q の湧き出し密度)
を指すこともある。
広義の連続の方程式の導出[編集]
領域 Ω における物理量 q の総量 M の時間変化を q の生成と流出と合わせて図示したもの。代表点のみの軌跡を記している。青い点の個数はΩにおけるq の総量 M (t ) を表す。ピンクの点の個数は湧き出し Δt S を、黄色の点は流れだす流量 Δt J を表す。図より
が成り立つ事がわかる。
広義の連続の式をフラックス形式あるいは一般の保存則という[1]。q をあるスカラー物理量、Ωを固定された有界積分領域、∂ΩをΩの境界である閉曲面とする。
q についての連続の式は、
- 領域 Ω における q の単位時間あたりの増加量
と 境界 ∂Ω における q の単位時間あたりの流出量(流量) J との和は、 領域Ωにおける q の単位時間あたりの湧き出し量 S に等しい。
![{\displaystyle {\mathrm {d} M \over \mathrm {d} t}+J=S}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO82ytBCota3z2i5zteOzAs2aAw0ajFCzNvBa2e2oAs2zga4atwNajrB)
と表現できる。
ここで q は連続的に分布する量であり、上述の量はすべて何らかの「密度量」で表現できなければいけない。そこで、q の密度 ρ、q の流束 j 、q の湧き出し密度 σ を導入すると、
![{\displaystyle {\begin{aligned}M&=\int _{\Omega }\rho \,\mathrm {d} V\\J&=\oint _{\partial \Omega }{\boldsymbol {j}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {S}}\\S&=\int _{\Omega }\sigma \mathrm {d} V\end{aligned}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9Dyja0yqoQotw4zjw1zNvDnAa1oNePnqa0ags4nDzFotmPzDKQztw1)
と表せる。ここで、dS は、境界 ∂Ω 上の微小素片における外向きの面積ベクトルであり、第2式は流束と面積ベクトルとの積の総和が境界を通って流れ出す q の流量であることを表している。
これにより連続の式は
![{\displaystyle {\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}\int _{\Omega }\rho \,\mathrm {d} V+\oint _{\partial \Omega }{\boldsymbol {j}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {S}}=\int _{\Omega }\sigma \mathrm {d} V}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9AathEz2aOa2s1aqzBoAwQnjJAaDC4oDoPnDa4ngw4oNFFoqzBoNBA)
となる。
ガウスの定理を使って第2項を体積積分で書き換え、第1項の時間微分と体積積分を交換すると
![{\displaystyle \int _{\Omega }\left\{{\partial \rho \over \partial t}+\nabla \cdot {\boldsymbol {j}}-\sigma \right\}\mathrm {d} V=0}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO80ntrEaNiPajvDnDJCzNa1aAiNagw3zjvDaNK4aNmQato5ajzFyja5)
となるので、微分形
![{\displaystyle {\partial \rho \over \partial t}+\nabla \cdot {\boldsymbol {j}}=\sigma }](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO81nge0oAw5aqo5ote4aDiOygdDoAsQoNG0ajaOzDGQytw0otC1ajK5)
が得られる。
特に、湧き出しがないときの連続の式
![{\displaystyle {\partial \rho \over \partial t}+\nabla \cdot {\boldsymbol {j}}=0}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9Baja4o2wOnteOztoNajlAyqvDzDoNnqnDzqi2yjG4yqiQoDiNnqzA)
を保存形、あるいは、q の保存則の微分形と呼ぶ。
流体における連続の式[編集]
質量保存則[編集]
速度が v で表される流れを考える。ρを質量密度、j を質量の流束とする。流れ、すなわち、移流あるいは対流は速度 v での物質の移動であるので、流束は
![{\displaystyle {\boldsymbol {j}}=\rho {\boldsymbol {v}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8Poqe0zNs2ygs3oqdDntsOzqoNzNKPzNlBzDhCnqiQaDGOzDwOaAa3)
となる[2]。
質量保存則から連続の式は
![{\displaystyle {\partial \rho \over \partial t}+\nabla \cdot \left(\rho {\boldsymbol {v}}\right)=0}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO81zDBByghCnjw0atnDaNe2yts0ytzBoDJCzgwNaqi1nDs2oqa5nDlC)
となる。
輸送定理による導出[編集]
速度が v で表される流れにおける連続の方程式は、質量保存則とレイノルズの輸送定理を用いても導ける[1]。
![{\displaystyle 0={\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}\int _{\Omega (t)}\rho \,dV=\int _{\Omega (t)}\left({D\rho \over Dt}+\rho \,\nabla \cdot {\boldsymbol {v}}\right)dV}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8NzjKNzjFBageOnDrDyji2agi4ygw4zjBBnDaOnAa4oAnEagoNaqiQ)
ここで、
は実質微分であり、Ω(t ) は流れと共に移動する任意の積分領域とする。1番目の等式は質量保存則を、2番目の等式はレイノルズの輸送定理を表している。
これより、
![{\displaystyle {D\rho \over Dt}+\rho \,\nabla \cdot {\boldsymbol {v}}=0}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO80ntmNzgvBzNC2ngnEagw4ntC5zqe5zDe5oqs0nqo4ytlAnjK2ajlA)
が成立する。
この式は、実質微分の定義
![{\displaystyle {D \over Dt}\equiv {\partial \over \partial t}+{\boldsymbol {v}}\cdot \nabla }](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9CatK3ztzBztG4yjBAygePato4zAdEats4nAe5yjaNoqvFnDsPaDs5)
と公式
![{\displaystyle \nabla \cdot \left(\rho {\boldsymbol {v}}\right)=\rho \,\nabla \cdot {\boldsymbol {v}}+{\boldsymbol {v}}\cdot \nabla \rho }](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9FyjFDztBAagwQoDK0yjlFaDKPotFAaAa5zqoPo2i1ota3nqw4yjzC)
を使って、
![{\displaystyle {\partial \rho \over {\partial t}}+\nabla \cdot (\rho {\boldsymbol {v}})=0}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8NyjvEzDrFzjiNzqe0nAnDzDnAoNGNajvAa2wNzqa5njvCnAhCnqe0)
と等価であることがわかる。
非圧縮性流体についての連続の方程式[編集]
連続の方程式
![{\displaystyle {D\rho \over Dt}+\rho \,\nabla \cdot {\boldsymbol {v}}=0}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO80ntmNzgvBzNC2ngnEagw4ntC5zqe5zDe5oqs0nqo4ytlAnjK2ajlA)
に対して、非圧縮性流体の性質(密度が一定であること)を付加すると、非圧縮性流体における連続の式が導き出される。密度が一定というのは、空間的に一様という意味ではなく、変形していく領域内で一定という意味である[2]。つまり、
となるので、ρ≠ 0 であることから、
![{\displaystyle \nabla \cdot {\boldsymbol {v}}=0}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO82zNePoNvEztdAngdFa2e1atdFoDi2nAhFyga3a2zBatGNzji1aAhC)
を得る。この式を非圧縮性条件ともいう。
この条件を満たす流れにおいて、流れていく流体要素の体積は不変である。
電磁気学における連続の方程式[編集]
電荷保存則[編集]
電磁気学における連続の式とは電荷の保存則の微分形である[3]。ρ を電荷密度、j を電流密度とすれば、連続の式は
![{\displaystyle {\partial \rho \over \partial t}+\nabla \cdot {\boldsymbol {j}}=0}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9Baja4o2wOnteOztoNajlAyqvDzDoNnqnDzqi2yjG4yqiQoDiNnqzA)
となる。
変位電流[編集]
マクスウェルの方程式において、電荷の保存則を満たすためにオリジナルのアンペールの式
![{\displaystyle \nabla \times {\boldsymbol {H}}={\boldsymbol {j}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9CzDm3nAzCzDrEatBCotoPajoNnji0nqi5atoPo2oNzqa4zti4otrB)
に変位電流を導入する必要があった。修正されたアンペールの式
![{\displaystyle \nabla \times {\boldsymbol {H}}={\partial {\boldsymbol {D}} \over \partial t}+{\boldsymbol {j}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9CothEaja1njJEaDvDzqaPatK2aNzCyqvBz2oNnDvEoDKOzto1zNvE)
において、両辺に発散 ∇· を作用させると、左辺はゼロとなるので、
![{\displaystyle \nabla \cdot {\partial {\boldsymbol {D}} \over \partial t}+\nabla \cdot {\boldsymbol {j}}=0}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8Nntm3ntnDztmPntvDyjJAzDnAnjFCaNs3otG3nAa3zDFEajeOa2wN)
となり、ガウスの式
![{\displaystyle \nabla \cdot {\boldsymbol {D}}=\rho }](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO83ntvCoqaOaAa5aNG5zjrFajeNoDi4aDaPaqvAzqi5zDs1zNw1aAaP)
を代入することで連続の式が得られる。
四元電流[編集]
電荷の保存則を表す連続の式は四元電流を使うことで、ローレンツ共変でコンパクトな形にすることができる。四元電流 Jμ (μ= 0, 1, 2, 3) を
![{\displaystyle J^{\mu }=\left(c\rho ,{\boldsymbol {j}}\right)}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9FatlBytC2zDrDatG1o2w4ntwNyjwOaAaPnjdBaAe0ntvDz2iQngoQ)
と表す。ここで c は光速である。微分演算子
![{\displaystyle \partial _{\mu }=\left({\frac {1}{c}}{\partial \over \partial t},\nabla \right)}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8Pz2e5nDFCoDdCoqdBoNsQaDaPaNa5ztzFaDwNntdBytK0nqsOoNG2)
を定義すると、連続の式は
![{\displaystyle \partial _{\mu }J^{\mu }=0}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO80zNdAaNGPotG5zAi3zDrCajhCaDs5zDrFnjrDz2hCoDJFngaNyjvB)
と表現できる。ただし、添字におけるアインシュタインの規約を採用した。
量子力学[編集]
量子力学における連続の式は確率の保存則を表す[4]。
Ψ(r , t ) を規格化された波動関数とする。確率密度 ρ、確率流束 j を
![{\displaystyle {\begin{aligned}\rho &=\Psi ^{*}\Psi \\{\boldsymbol {j}}&={\frac {\hbar }{2m\mathrm {i} }}\left[\Psi ^{*}\nabla \Psi -\Psi \nabla \Psi ^{*}\right]\end{aligned}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9EaDeOajwPzjC5nthCatw5oNG0ntdBnAdEnjhCatnFyjwOyts5oqe2)
と定義すると、シュレディンガー方程式
![{\displaystyle \mathrm {i} \hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi +U\Psi }](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8PaqhCzDi5nAe3ngiOzDs1atrEzDe4nDnBzjm5nAnDzgiQzjaPzNFD)
を用いて、確率に対する連続の式
![{\displaystyle {\partial \rho \over \partial t}+\nabla \cdot {\boldsymbol {j}}=0}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9Baja4o2wOnteOztoNajlAyqvDzDoNnqnDzqi2yjG4yqiQoDiNnqzA)
が得られる。
連続の式の導出[編集]
シュレディンガー方程式とその複素共役の式
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {i} \hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi +U\Psi ,\\-\mathrm {i} \hbar {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial t}}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi ^{*}+U\Psi ^{*}\end{aligned}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9FzDBDaDaOnts2atGQo2o4nAw5aqo1aDJCatePoqzBaqrDo2zDaNJF)
それぞれに Ψ* , Ψ をそれぞれ掛けて2式の差を取ると
![{\displaystyle \mathrm {i} \hbar \Psi ^{*}{\frac {\partial \Psi }{\partial t}}+\mathrm {i} \hbar \Psi {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial t}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Psi ^{*}\nabla ^{2}\Psi +{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Psi \nabla ^{2}\Psi ^{*}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8NnDrDnqrFngs0ajoNotzEa2s1oDiNatBDytvAygaPnqwOoqhAo2iP)
更に
![{\displaystyle \mathrm {i} \hbar {\frac {\partial \left(\Psi ^{*}\Psi \right)}{\partial t}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla \cdot \left(\Psi ^{*}\nabla \Psi -\Psi \nabla \Psi ^{*}\right)}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8PnjmQnAzDyjK5ajs2ztw1aDrCyjJCatiNaAe3aNK2ote4aqzCnqdA)
となり、連続の式
![{\displaystyle {\partial \rho \over \partial t}+\nabla \cdot {\boldsymbol {j}}=0}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9Baja4o2wOnteOztoNajlAyqvDzDoNnqnDzqi2yjG4yqiQoDiNnqzA)
ただし、
![{\displaystyle {\begin{aligned}\rho &=\Psi ^{*}\Psi \\{\boldsymbol {j}}&={\frac {\hbar }{2m\mathrm {i} }}\left[\Psi ^{*}\nabla \Psi -\Psi \nabla \Psi ^{*}\right]\end{aligned}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9EaDeOajwPzjC5nthCatw5oNG0ntdBnAdEnjhCatnFyjwOyts5oqe2)
が得られる。
拡散方程式 [編集]
ブラウン運動などのミクロスケール由来の現象による物質の質量輸送現象を考える[5]。このとき、経験則であるフィックの法則(フィックの第一法則)により流束は
![{\displaystyle {\boldsymbol {j}}=-\kappa \nabla \rho }](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9BzDhFytm5zgo5aqa5zgiNnja1atJDzqi1aAs0ntKQyqnEntC1aDoQ)
と密度の勾配で与えられる。係数 κ は拡散係数と呼ばれ、次元
をもつ。拡散係数が定数の時、連続の式から拡散方程式
![{\displaystyle {\partial \rho \over \partial t}=\kappa \nabla ^{2}\rho }](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO80ntw5nDGPzjaPaAsPnAvBoDa5oqvBnAvDygzEoNo4zNi2zjGNzNGO)
が得られる。