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時不変系(じふへんけい、英語: time-invariant system)は、その出力が時間に明示的に依存していない系である。入力信号
によって出力
が生成されるとき、時間をシフトさせた入力
では出力も
となり、同じだけ時間をシフトしたものとなる。
形式的には、
をシフト作用素としたとき(
)、次が成り立つ
を時不変作用素と呼ぶ。
![{\displaystyle T(S_{\delta }x)=S_{\delta }(Tx)}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8QaAnFajJAyjzDzNhAaNmOoNe3o2e3ntBDzNCOyjw4z2w1ytsNngzF)
この属性は、系の伝達関数が時間の関数ではなく、入力と出力だけで表される場合に満足される。また、概略的に表すと次のようになる。
- 系が時不変であるとき、その系のブロックは任意の遅延について可換である。
系が時不変かどうかを判定する例を示すため、次の2つの系を考える。
- 系 A:
![{\displaystyle y(t)=t\cdot x(t)}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8Nngo4yge3njw1yqoOztmPngo2nqa3yts4z2sOzAzCzti2zAwNnAhB)
- 系 B:
![{\displaystyle y(t)=10\cdot x(t)}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9EntoOzDdDyjlAoDGNnAoOajlAzDm4oNG5zNhFoNnEyqoPoAw5yjm4)
系 A は
と
以外の部分で明示的に t に依存しているので、時変である。一方系 B は明示的に t に依存していないので、時不変である。
次に A と B の系がなぜ上述のように言えるのかを、形式的な証明によって示す。証明するために、第二の定義(系が時不変であるとき、その系のブロックは任意の遅延について可換である)を利用する。
系 A:
- 遅延のある入力
を与えると、次のようになる。
![{\displaystyle y_{1}(t)=t\,x_{d}(t)=t\,x(t+\delta )}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO85o2a0oNzByjlBz2hCoNi0nqa1zNiQzAiNztG5yjvAntzBzNs3oqwP)
- ここで出力を
のぶんだけ遅延させる。
![{\displaystyle y(t)=t\,x(t)}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO82zjGPoNs2zjGQaDm0yti2zDwPatwNyjlBzji2ntm1oDa3a2o2njs5)
![{\displaystyle y_{2}(t)=\,\!y(t+\delta )=(t+\delta )x(t+\delta )}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9Dnqa5nqiQotwNaNoPyjFAoNeQotzEaDK3nDrFnqo1oqwPntK4z2vE)
であることは明らかであり、従ってこの系は時不変ではない。
系 B:
- 遅延のある入力
を与えると、次のようになる。
![{\displaystyle y_{1}(t)=10\,x_{d}(t)=10\,x(t+\delta )}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO85ajnFnDsPzDJEnAa4zqoPzgoNzthAygdCzNo4oDw4nDm0oNG2oAe3)
- ここで出力を
のぶんだけ遅延させる。
![{\displaystyle y(t)=10\,x(t)}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8Oaqi1oAeOaNo2nja1nje0ajrAotvDaNa4zgdAzqs1nArEnthEo2zE)
![{\displaystyle y_{2}(t)=y(t+\delta )=10\,x(t+\delta )}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO85ajGPaAe1zjCNnjhBnqoQngw2ytvDzta4atw1ytvFnje5z2nFyqrE)
であることは明らかであり、従ってこの系は時不変である。他にも証明方法はあるが、これが最も容易である。
シフト作用素を
と表す。ここで、
はベクトルの添え字群がシフトされるべき量である。例えば、"advance-by-1" 系
![{\displaystyle x(t+1)=\,\!\delta (t+1)*x(t)}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9FaNdFytiQagrEoAzDotK4zgs1nAvDoDK1oDs1zDa5a2aOnDKNoDCQ)
は、ここでの抽象的記法では次のようになる。
![{\displaystyle {\tilde {x}}_{1}=\mathbb {T} _{1}\,{\tilde {x}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8OajCQoqi3agwQa2iNzNvEnDePzjaNnjlBoteQato1oDi3nga2atrE)
ここで、
は次の式で与えられる関数である。
![{\displaystyle \forall t\in \mathbb {R} \ {\tilde {x}}=x(t)}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8Oygs1ngsOatrFnDBCaje5yqe0a2w2aNJCotePa2o3aNi1ajCPzgeQ)
シフトされた出力となる系は次のようになる。
![{\displaystyle \forall t\in \mathbb {R} \ {\tilde {x}}_{1}=x(t+1)}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9BnDnFztrBzjzEzDoOajiNygsOnDCQnDsNnjwPa2i5otK0ntvFnqzA)
従って
は入力ベクトルを 1 だけ進める作用素である。
ここで、系を作用素
で表す。この系が時不変であるのは、この作用素とシフト作用素の間で交換法則が成り立つ場合である。すなわち、
![{\displaystyle \forall r\ \mathbb {T} _{r}\,\mathbb {H} =\mathbb {H} \,\mathbb {T} _{r}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO84zqoQnta4otK1oDe4ztm5ztBEntm5ngnEngvBnjG1nqa4aNFEygaP)
系の方程式が次のようであるとする。
![{\displaystyle {\tilde {y}}=\mathbb {H} \,{\tilde {x}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO83a2dFngvDzDi1oDzAaNsOats1nte3o2iNyqs2aDmPnDG2aNm3atK2)
この系が時不変であるとは、系の作用素
を
に適用してからシフト作用素
を適用した場合と、シフト作用素
を適用してから系の作用素
を適用した場合で、結果が等価となる場合である。
系の作用素を先に適用すると、次のようになる。
![{\displaystyle \mathbb {T} _{r}\,\mathbb {H} \,{\tilde {x}}=\mathbb {T} _{r}\,{\tilde {y}}={\tilde {y}}_{r}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO82ztCNaqsNajG5aDG4a2rAa2s5yja5yge3nDi3oDrAnga5aNi4aDs2)
シフト作用素を先に適用すると、次のようになる。
![{\displaystyle \mathbb {H} \,\mathbb {T} _{r}\,{\tilde {x}}=\mathbb {H} \,{\tilde {x}}_{r}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9DnDiOyqaNyqe5ztrBngiQzAe4zgw1oNa3ztK3zgrCntJBzNzAzqwP)
従って、系が時不変なら次が成り立つ。
![{\displaystyle \mathbb {H} \,{\tilde {x}}_{r}={\tilde {y}}_{r}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9AnDG1aja1otlCzAnCags5atsNzNGQzAw0zDlEotvEz2rAo2nFnjmO)