複素解析において、関数値として複数の複素数を取る多価関数を考えるとき、関数の主値(しゅち、英: principal value)とはその関数の分枝から取られる値のことである。多価関数の値を主値に限定することで、一価の関数となる。
複素対数関数 log z は、一つの複素数 z を以下を満たす複素数 w に移す関数である。
![{\displaystyle e^{w}=z\,\!}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO81ztBBzjCPyqo1zje5oNFEoDePngzCagePajo4aDzFoqi4oAe3otCQ)
例えば、
の値を計算しようとすると、以下の方程式を満たす解として w を求めることになる。
![{\displaystyle e^{w}=i\,\!}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9Aaqw4aAdAagnDnDeOzNG0aNi5ntCOzjo1zAvAnjFDnjGOzjmPnqhB)
オイラーの公式から、
が一つの解であることは明らかであるが、解はそれだけでない。
関数の引数とした点
の複素平面上での位置を考えると、解が複数あることが分かる。
から反時計回りに
ラジアンだけ回転した点が
になるが、ここからさらに
回転すると、また
になる。したがって
も
の値であると考えることができ、また
だけでなく、その整数倍を加えたものはすべて、この関数の値と考えることができる。
しかし実数関数の場合と比較すると、これには違和感がある。つまり
の値は一意に定まらない、ということである。log z は、k を任意の整数として
![{\displaystyle \log {z}=\ln {|z|}+i\left(\mathrm {arg} \ z+2\pi k\right)}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9EzjlDnjiNoDe3nAi4oNnCathAoqdAaNrAote0aNBAyge3ztzBaqoO)
と書ける。k の値は分岐点として知られ、多価関数が一価になる点を決めることになる。
ここで k = 0 に相当する分枝を主枝(英語版)、この主枝において関数が取る値を主値と呼ぶ。
一般に f(z) が多価関数のとき、f の主値を
![{\displaystyle \mathrm {pv} \ f(z)}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO85otCPz2w0aDC4oNrBzNoNnAo2oAw1yjm4zjwPyqnAzArDnjdBaqvC)
と書き表す。これは、f の定義域内の複素数 z について一価の関数となる。
複素数を取る初等関数は、定義域内で領域によっては多価となる。主値を取るのが簡単な形の関数に分解することで、その主値を決めることができる場合がある。
対数関数の例は上述したが、その形は
![{\displaystyle \log {z}=\ln {|z|}+i\left(\mathrm {arg} \ z\right)}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9AaNo1yqo2njBAnDnCnDw2nji1a2oNzqa5ntKQzDhCajo3zjzAnAoO)
である。ここで
が多価である。この偏角の取りうる範囲を
に限定すれば、その偏角における関数の値を主値として取ることができる。このときの(範囲の限定された)偏角を、大文字を使って
と書く。関数の定義に
の代わりに
を使うことで、対数関数が一価になり、
![{\displaystyle \mathrm {pv} \ \log {z}=\mathrm {Log} \ z=\ln {|z|}+i\left(\mathrm {Arg} \ z\right).}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9Bnti4oDePzjdEzDGOnAiPnDnEnqo3yja5a2zBnAnEzqa3aDCNztG3)
と書くことができるようになる。
を複素数(
)とするときの指数
について考えるとき、一般には zα を eα log z として定義する。ここで Log でなく log を使うと、eα log z は多価関数となる。Log を使えば以下の形で zα の主値を取ることができる。
![{\displaystyle \mathrm {pv} \ z^{\alpha }=e^{\alpha \mathrm {Log} \ z}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9DoDe3ytGPaDwOateQnjnFaNrCoNK1ateOzDGNaDm1nDoNztaQzgrC)
複素数
の平方根の主値は以下のようになる。
![{\displaystyle \mathrm {pv} {\sqrt {z}}={\sqrt {r}}\,e^{i\phi /2}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9CytK1nthAnjK5aNFEntK4aDi3ntJCaDdDzDKNaqhEnjBFate0oDs0)
ここで偏角は
の範囲である。
atan と atan2 の比較
ラジアンで表される複素数の偏角の主値は、以下のどちらかで定義されることが多い。
![{\displaystyle [0,2\pi )}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO81nqa3aAzAngs3aNdAzje4aDdCnDzDoAdBatK1oDK0zDs4yjJBoDGQ)
![{\displaystyle (-\pi ,\pi ]}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO83nAdEatG0aNm3yqi5ngoNnjzEoAzDntaOzjBEoDe1ytC3ytlCntBD)
逆正接関数をプロットすれば、これらの値を見ることができる。
- atan2:
の範囲
- atan:
の範囲