ក្រាបនៃអនុគមន៍ដឺក្រេទី៣។ រឺសជាចំនុចប្រសព្វរវាងអ័ក្សអាប់ស៊ីស
និងខ្សែកោង (y = 0)។ វាមានចំនុចរបត់២។
នៅក្នុងគណិតវិទ្យា អនុគមន៍ដឺក្រេទី៣ (Cubic function) ជាអនុគមន៍ដែលមានទំរង់
![{\displaystyle f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d\,}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8Qyto0otK4aAi4oNm2aDe3z2oOo2hAzjdBztFFatzAygo0nAePoAnA)
ដែល a ជាចំនួនមិនសូន្យ។ ដេរីវេនៃអនុគមន៍ដឺក្រេទី៣ជាអនុគមន៍ដឺក្រេទី២។ អាំងត្រេក្រាលនៃអនុគមន៍ដឺក្រេទី៣ជាអនុគមន៍ដឺក្រេទីបួន។
ប្រសិនបើអ្នកអោយ
នោះអ្នកនឹងទទួលបានទំរង់សមីការដឺក្រេទី៣
![{\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0\,}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO83a2iQoDs4nDnEzNiOoNm1nqdFztdFyte4ntmNo2zEnqi2oqiPa2vC)
ដែល
![{\displaystyle a\neq 0\,}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9FnAiNzqwQzDG2zAs0yjK2yjoQaAwNoDKNoteQzts1otrDaNG0zDe1)
(ប្រសិនបើ a = 0 នោះគេវានឹងក្លាយទៅជាសមីការដឺក្រេទី២)
យោងតាមទ្រឹស្ដីបទតម្លៃកណ្ដាល គ្រប់សមីការដឺក្រេទី៣ដែលមានមេគុណជាចំនួនពិត មានឫសយ៉ាងហោចណាស់មួយជាចំនួនពិត។ យើងអាចបែងចែកតាមរយៈឌីស្គ្រីមីណង់(Discriminant)
![{\displaystyle \Delta =-4b^{3}d+b^{2}c^{2}-4ac^{3}+18abcd-27a^{2}d^{2}.\,}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8NaAsOnjzFzgi5aNo3oAiQytsQytlEotC2a2zCaAhDngzBzjG1oDnE)
ករណីខាងក្រោមត្រូវការពិចារណា
- បើ Δ > 0 នោះសមីការមានឫស៣ជាចំនួនពិតផ្សេងគ្នា។
- បើ Δ < 0 នោះសមីការមានឫស១ជាចំនួនពិត និង មានឫស២ផ្សេងទៀតជាចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់។
- បើ Δ = 0 នោះសមីការមានឫសដូចគ្នាយ៉ាងហោចណាស់២។
វិធីសាស្រ្តកាដាណូ(Cardano)
[កែប្រែ]
ចំលើទាំងនេះអាចត្រូវគេរកតាម វិធីសាស្រ្ត Scipione del Ferro និង Tartaglia ដែលបោះពុម្ភនៅឆ្នាំ១៥៤៥។
យើងដាក់សមីការស្តង់ដាជារាង :
ជំនួស
ហើយលុបបំបាត់តួដែលមានដឺក្រេទី២ យើងបាន
ហើយ ![{\displaystyle q=c+{\frac {2a^{3}-9ab}{27}}\qquad (2)}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8NajlCnqiNyqdAoNC1nAvFzga3aDlEnArAoAe3aji1zgdFaArFoAnD)
តាម Thomas Harriot(១៥៦០-១៦២១): ដោយជំនួស
ហើយគុណអង្គទាំង២នឹង
រួចធ្វើការលុបបំបាត់ផ្នែកខ្លះ នោះ
។ ការព៌ណនាខាងក្រោមគឺជាប្រភពដើមនៃCardano និង Tartaglia ដែលមាននៅក្នុងសៀវភៅរហូតដល់សព្វថ្ងៃ។
ឧបមាថា យើងអាចរកចំនួន
និង
ដែល
ហើយ ![{\displaystyle -uv={\frac {p}{3}}\quad (3)\,}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO80oNBDa2wPz2eNaNi4zta3aAa5zDvBzjrDnjGQytG1nAo4zqw2ntBA)
ចំលើយចំពោះសមីការគឺអោយដោយ
ដែលអាចត្រូវគេពិនិត្យតាមរយះ ជំនួសតំលៃនេះដោយត្រង់ចំពោះ
ក្នុង (2) ។
![{\displaystyle (v+u)^{3}-3uv(v+u)+(-u^{3}-v^{3})=0\ }](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO80o2dAzNrEotK4z2zDzge1aNJFnge3ajaNzDa0njrAnqrAnAo5oNm5)
ប្រព័ន្ធអាចត្រូវបានដោះស្រាយ ដោយដោះស្រាយសមីការដឺក្រេទី២ ចំពោះ v
![{\displaystyle v=-{\frac {p}{3u}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8QnjJBzqs1z2eNztnEytrBzqe0zNBAngoPzqe5z2rBzAzCajnBoqdB)
ដោយជំនួស v ទៅក្នុងសមីការដំបូង ក្នុង(3)
![{\displaystyle -u^{3}+{\frac {p^{3}}{27u^{3}}}=q}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8OztG1oNm0oqzBaqe5nDJCyjo0ztoOoNGNztmOzNBCo2sPyqdDoNGO)
ដោយប្តូរទីតាំងនៃ q ហើយគុណនឹង 27u3 នោះ
![{\displaystyle 27u^{6}+27qu^{3}-p^{3}=0\,}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO83z2e1zqzEzDBDzgo5aAs5a2iQa2sPaAe5nqdCyjw0nqsOajzFo2sO)
នេះជាសមីការដឺក្រេទី២ ចំពោះ u3។ បើយើងដោះស្រាយសមីការនេះ គេឃើញថា
![{\displaystyle u^{3}=-{q \over 2}\pm {\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9CzjsNntw0ytK4zAa1ajnEzqs0yqi1atlFztrBzqnEagsPzNhCnjdF)
![{\displaystyle u={\sqrt[{3}]{-{q \over 2}\pm {\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}}\quad (4)}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO81ags1nDeQnDCOngrBaNoOzDi1ajvDoqzAzDG5yti4ytm3zjmPaqs0)
ចូរចាំថា មាន៦របៀបក្នុងការគណនា u ជាមួយ (4) ។ វាមានចំលើយ២ចំពោះឫសការេ(
) ហើយ ចំលើយជាចំនួនកុំផ្លិច៣ ចំពោះឫសគូប ។ គុណចំលើយគោលនឹង
។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ សញ្ញានៃឫសការេ(បូក ឬ ដក) មិនប៉ះពាល់ដល់ចំលើយចុងក្រោយទេ។ ដំបូង បើ p = 0 នោះ ឫសមួយអាចត្រូវជ្រើសរើសឫសការេអវិជ្ជមាន ដែលនាំអោយ u មិនស្មើសូន្យ ឧទាហរណ៍
។ ទី២ បើ p = q = 0 នោះយើងមានឫសពិត៣ x = −a/3 ។
សង្ខេប ចំពោះសមីការដឺក្រេទី៣
![{\displaystyle x^{3}+ax^{2}+bx+c=0\ }](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9CzjlAnthDaAo0ygoOzDrDyqe2aAe2aAaNyjoQoDC2zgnEngrCaqrB)
ចំលើយ ចំពោះx ផ្តល់អោយ
![{\displaystyle x=-{\frac {p}{3u}}+u-{a \over 3}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO82z2aOyte3aNe3nqePoAvEnDw2oAa0yjsOyji4zjm1zqo3nqvBotdE)
ដែល
![{\displaystyle p=b-{\frac {a^{2}}{3}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9AntlFngo1aDFDoDsNyjw5nAePzNi1ngnBngwQnjCNoNs0o2zDztrF)
![{\displaystyle q=c+{\frac {2a^{3}-9ab}{27}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8OnDrFa2rDnjm0ajBDoAs1otoOnDdCotmPoDdBzDG3zqs5z2iOagvD)
![{\displaystyle u={\sqrt[{3}]{-{q \over 2}\pm {\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8PaAsOnqoNnDzFaDm1aNe3agdBoDJBygoPaAdBoAs0oqs4aAnAngoP)
បើទោះបីជាវិធីសាស្រ្តនេះធម្មតានិងឥតខ្ចោះក៏ដោយ វាខុសចំពោះឫសពិត៣ ឧទាហរណ៍ ពេល :
ចំពោះករណីនេះ ទ្រឹស្តីបទផ្សេងទៀតត្រូវគេយកមកប្រើ ។
តាមពិត វិធីសាស្រ្តនេះអាចប្រើបានចំពោះករណីដែល D < 0 ហើយគ្រប់ករណីផ្សេងទៀតទាំងអស់ បើយើងប្រើឫសគូប៣ នៃ u និង v ខាងលើ ទោះបីជា ចំនួនពិត ឬ កុំផ្លិច។ វាជាប្រវត្តិដ៏មានសារៈសំខាន់ព្រោះការរកចំលើយតាមរបៀបនេះ ធ្វើអោយគេទទួលយកចំនួនកុំផ្លិច ។ ប៉ុន្តែជាសំណាងអាក្រក់ អ្វីៗគឺសាំញ៉ាំបន្តិច។
យើងដឹងថា
ឬ
តែដោយ
និង
ត្រូវតែផ្ទៀងផ្ទាត់
ហើយ
នោះគេអាចបង្ហាញថាបើ
ឬផ្ទុយទៅវិញ វាមិនមានបញ្ហាក្នុងការជ្រើសរើសវិធីសាស្រ្តទេ។
ដោយសរសេរឫសទាំង៣នោះចេញគេបាន
ចំណាំ
យើងទទួលយកតំលៃដែលអាចតែ៣ប៉ុណ្ណោះសំរាប់ t ពីព្រោះការបូកផ្សំគ្នា៣នៃ u និង v អាចទៅរួចបើ
គឺត្រូវតែរក្សាសុពលភាពក្នុងនាមជា - ដូចនេះ
ហើយដោយ
តំលៃដែលអាច៣នៃ x គឺ
ហើយសមីការដឺក្រេទី៣ត្រូវគេដោះស្រាយ តាមរយះ
វិជ្ជមាន អវិជ្ជមាន ឬ សូន្យ
បើ D វិជ្ជមាន នោះវាមានចំនួនពិតមួយ និងចំនូនកុំផ្លិចពីរជាឫស ។
បើ D អវិជ្ជមាន នោះវាមានឫស៣ជាចំនួនពិត។
បើ D = 0 នោះវាមាន ឫសមួយជាចំនួនពិត(ឫសដូចគ្នាទាំងបី) ឬ ឫសពីរជាចំនួនពិត(ឫសមួយ ឬ ឫសឌុប)។