국소 유한 부분 순서 집합 (영어 : locally finite poset )은 모든 폐구간이 유한집합인 부분 순서 집합 이다. 즉, 부분 순서 집합
(
P
,
≤
)
{\displaystyle (P,\leq )}
가 주어지고, 임의의
a
,
b
∈
P
{\displaystyle a,b\in P}
에 대하여 폐구간
[
a
,
b
]
=
{
x
∈
P
:
a
≤
x
≤
b
}
{\displaystyle [a,b]=\{x\in P\colon a\leq x\leq b\}}
가 유한집합이라면,
(
P
,
≤
)
{\displaystyle (P,\leq )}
를 국소 유한 부분 순서 집합이라고 한다.
국소 유한 부분 순서 집합
(
P
,
≤
)
{\displaystyle (P,\leq )}
와, (단위원을 갖는) 가환환
R
{\displaystyle R}
가 주어졌다고 하고,
C
(
P
)
⊂
P
(
P
)
{\displaystyle {\mathcal {C}}(P)\subset {\mathcal {P}}(P)}
가
P
{\displaystyle P}
속의, 공집합이 아닌 폐구간들의 집합이라고 하자.
P
{\displaystyle P}
위의,
R
{\displaystyle R}
계수의 근접 대수
I
(
P
;
R
)
{\displaystyle I(P;R)}
는
C
(
P
)
→
R
{\displaystyle {\mathcal {C}}(P)\to R}
꼴의 함수들의 집합이다.
f
∈
I
(
P
;
R
)
{\displaystyle f\in I(P;R)}
에 대하여, 편의상
f
(
[
a
,
b
]
)
=
f
(
a
,
b
)
{\displaystyle f([a,b])=f(a,b)}
로 쓰자. 또한,
f
∈
I
(
P
;
R
)
{\displaystyle f\in I(P;R)}
는 일종의 행렬 로 생각할 수 있다. 즉,
f
(
a
,
b
)
{\displaystyle f(a,b)}
를 (무한할 수 있는) 행렬
(
f
)
a
,
b
=
{
f
(
a
,
b
)
a
≤
b
0
a
≰
b
{\displaystyle (f)_{a,b}={\begin{cases}f(a,b)&a\leq b\\0&a\not \leq b\end{cases}}}
로 생각할 수 있다.
근접 대수
I
(
P
;
R
)
{\displaystyle I(P;R)}
위에는 다음과 같은
R
{\displaystyle R}
-대수 구조 및 합성곱 을 정의할 수 있다.
(덧셈)
(
f
+
g
)
(
a
,
b
)
=
f
(
a
,
b
)
+
g
(
a
,
b
)
{\displaystyle (f+g)(a,b)=f(a,b)+g(a,b)}
(곱셈)
(
f
g
)
(
a
,
b
)
=
f
(
a
,
b
)
g
(
a
,
b
)
{\displaystyle (fg)(a,b)=f(a,b)g(a,b)}
덧셈과 곱셈 아래, 근접 대수
(
(
I
(
P
;
R
)
,
+
,
⋅
)
{\displaystyle ((I(P;R),+,\cdot )}
는
R
{\displaystyle R}
-가환 대수 를 이룬다. 즉,
I
(
P
;
R
)
{\displaystyle I(P;R)}
는 가환환 을 이루며, 표준적인 단사 환 준동형
R
↪
I
(
P
;
R
)
{\displaystyle R\hookrightarrow I(P;R)}
r
↦
(
[
a
,
b
]
↦
r
)
{\displaystyle r\mapsto ([a,b]\mapsto r)}
이 존재한다. 곱셈에 대한 항등원은 값이 1인 상수 함수
ζ
∈
I
(
P
;
R
)
{\displaystyle \zeta \in I(P;R)}
ζ
(
a
,
b
)
=
1
∀
a
,
b
∈
P
{\displaystyle \zeta (a,b)=1\qquad \forall a,b\in P}
이며, 이를 제타 함수 (영어 : zeta function )라고 한다.
근접 대수의 원소를 행렬로 생각하였을 때, 덧셈은 행렬의 덧셈, 곱셈은 행렬의 아다마르 곱 에 대응한다.
또한, 근접 대수
I
(
P
;
R
)
{\displaystyle I(P;R)}
위에는 합성곱 (영어 : convolution )이라는 다음과 같은 이항 연산
∗
{\displaystyle *}
이 존재한다.
(
f
∗
g
)
(
a
,
b
)
=
∑
a
≤
x
≤
b
f
(
a
,
x
)
g
(
x
,
b
)
{\displaystyle (f*g)(a,b)=\sum _{a\leq x\leq b}f(a,x)g(x,b)}
근접 대수의 원소를 행렬로 생각하였을 때, 합성곱은 행렬의 곱에 대응한다. 즉,
(
f
∗
g
)
a
b
=
∑
x
f
a
x
g
x
b
{\displaystyle (f*g)_{ab}=\sum _{x}f_{ax}g_{xb}}
가 되어 좌변은 행렬의 곱이 된다.
합성곱은 결합 법칙 및 덧셈과의 분배 법칙 을 따르지만, 일반적으로 교환 법칙 은 따르지 않는다. 합성곱의 항등원은 델타 함수
δ
∈
I
(
P
;
R
)
{\displaystyle \delta \in I(P;R)}
이다.
δ
(
a
,
b
)
=
{
1
a
=
b
0
a
≠
b
{\displaystyle \delta (a,b)={\begin{cases}1&a=b\\0&a\neq b\end{cases}}}
이는 일종의 단위 행렬 이다. 따라서, 합성곱 아래 근접 대수
(
I
(
P
;
R
)
,
+
,
∗
)
{\displaystyle (I(P;R),+,*)}
는
R
{\displaystyle R}
위의 단위 결합 대수 를 이룬다.
체 계수의 근접 대수의 원소
f
∈
I
(
P
;
R
)
{\displaystyle f\in I(P;R)}
에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치 이다.
f
{\displaystyle f}
는 합성곱 아래 역원을 갖는다.
임의의
a
∈
P
{\displaystyle a\in P}
에 대하여
f
(
a
,
a
)
≠
0
{\displaystyle f(a,a)\neq 0}
이다.
제타 함수는 합성곱 아래 역원을 가지는데, 이를 뫼비우스 함수
μ
∈
I
(
P
;
R
)
{\displaystyle \mu \in I(P;R)}
라고 하며 다음과 같다.
μ
(
a
,
b
)
=
{
1
a
=
b
−
∑
a
≤
x
<
b
μ
(
a
,
x
)
a
<
b
{\displaystyle \mu (a,b)={\begin{cases}1&a=b\\-\sum _{a\leq x<b}\mu (a,x)&a<b\end{cases}}}
ζ
∗
μ
=
μ
∗
ζ
=
δ
{\displaystyle \zeta *\mu =\mu *\zeta =\delta }
국소 유한 부분 순서 집합
P
{\displaystyle P}
가 다음 조건을 만족시킨다고 하자.
|
{
x
∈
P
:
a
≤
x
}
|
<
ℵ
0
∀
a
∈
P
{\displaystyle |\{x\in P\colon a\leq x\}|<\aleph _{0}\qquad \forall a\in P}
(
P
{\displaystyle P}
가 최대 원소 를 갖는다는 것은 위 조건의 충분조건이다.) 그렇다면, 근접 대수
(
I
(
P
;
R
)
,
+
,
∗
)
{\displaystyle (I(P;R),+,*)}
는
P
{\displaystyle P}
위의,
R
{\displaystyle R}
값을 갖는 함수의 집합
R
P
{\displaystyle R^{P}}
위에 다음과 같이 작용한다.
(
f
∗
ϕ
)
(
a
)
=
∑
a
≤
b
f
(
a
,
b
)
ϕ
(
b
)
{\displaystyle (f*\phi )(a)=\sum _{a\leq b}f(a,b)\phi (b)}
즉,
R
P
{\displaystyle R^{P}}
는 환
(
I
(
P
;
R
)
,
+
,
∗
)
{\displaystyle (I(P;R),+,*)}
의 왼쪽 가군 을 이룬다.
마찬가지로, 만약
P
{\displaystyle P}
가 다음 조건을 만족시킨다고 하자.
|
{
x
∈
P
:
x
≤
a
}
|
<
ℵ
0
∀
a
∈
P
{\displaystyle |\{x\in P\colon x\leq a\}|<\aleph _{0}\qquad \forall a\in P}
(
P
{\displaystyle P}
가 최소 원소 를 갖는다는 것은 위 조건의 충분조건이다.) 그렇다면, 근접 대수
(
I
(
P
;
R
)
,
+
,
∗
)
{\displaystyle (I(P;R),+,*)}
는
P
{\displaystyle P}
위의,
R
{\displaystyle R}
값을 갖는 함수의 집합
R
P
{\displaystyle R^{P}}
위에 다음과 같이 작용한다.
(
f
∗
ϕ
)
(
b
)
=
∑
a
≤
b
ϕ
(
a
)
f
(
a
,
b
)
{\displaystyle (f*\phi )(b)=\sum _{a\leq b}\phi (a)f(a,b)}
즉,
R
P
{\displaystyle R^{P}}
는 환
(
I
(
P
;
R
)
,
+
,
∗
)
{\displaystyle (I(P;R),+,*)}
의 오른쪽 가군 을 이룬다.
만약
χ
=
f
∗
ϕ
(
χ
,
ϕ
∈
R
P
,
f
∈
I
(
P
;
R
)
)
{\displaystyle \chi =f*\phi \qquad (\chi ,\phi \in R^{P},\;f\in I(P;R))}
이며,
f
{\displaystyle f}
가 합성곱 아래 역원을 갖는다면
ϕ
=
f
−
1
∗
χ
{\displaystyle \phi =f^{-1}*\chi }
가 된다. 특히, 만약
f
=
ζ
{\displaystyle f=\zeta }
일 경우
f
−
1
=
μ
{\displaystyle f^{-1}=\mu }
이다. 즉, 왼쪽 가군 작용의 경우 다음 두 조건이 서로 동치 이다.[1]
χ
(
a
)
=
(
ζ
∗
ϕ
)
(
a
)
=
∑
a
≤
b
ϕ
(
b
)
⟺
ϕ
(
a
)
=
(
μ
∗
χ
)
(
a
)
=
∑
a
≤
b
μ
(
a
,
b
)
χ
(
b
)
{\displaystyle \chi (a)=(\zeta *\phi )(a)=\sum _{a\leq b}\phi (b)\iff \phi (a)=(\mu *\chi )(a)=\sum _{a\leq b}\mu (a,b)\chi (b)}
마찬가지로, 오른쪽 가군 작용의 경우 다음 두 조건이 서로 동치 이다.[1]
χ
(
b
)
=
(
ϕ
∗
ζ
)
(
b
)
=
∑
a
≤
b
ϕ
(
a
)
⟺
ϕ
(
b
)
=
(
χ
∗
μ
)
(
b
)
=
∑
a
≤
b
χ
(
a
)
μ
(
a
,
b
)
{\displaystyle \chi (b)=(\phi *\zeta )(b)=\sum _{a\leq b}\phi (a)\iff \phi (b)=(\chi *\mu )(b)=\sum _{a\leq b}\chi (a)\mu (a,b)}
이를 뫼비우스 반전 공식 (영어 : Möbius inversion formula )이라고 한다. 이는 수론 에서의 뫼비우스 반전 공식 의 일반화이다.