집합론 에서 멱집합 (冪集合, 영어 : power set )은 주어진 집합 의 모든 부분 집합 들로 구성된 집합이다.
하세 도표 로 표현한
{
x
,
y
,
z
}
{\displaystyle \{x,y,z\}}
집합
S
{\displaystyle S}
P
(
S
)
{\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}
크기 는
|
P
(
S
)
|
=
2
|
S
|
{\displaystyle |{\mathcal {P}}(S)|=2^{|S|}}
이다. 여기서
|
S
|
{\displaystyle |S|}
S
{\displaystyle S}
2
|
S
|
{\displaystyle 2^{|S|}}
기수 의 거듭제곱을 나타낸다. 만약
S
{\displaystyle S}
유한 집합 일 경우,
|
S
|
{\displaystyle |S|}
S
{\displaystyle S}
집합
S
{\displaystyle S}
P
(
S
)
{\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}
S
{\displaystyle S}
|
P
(
S
)
|
=
2
|
S
|
>
|
S
|
{\displaystyle |{\mathcal {P}}(S)|=2^{|S|}>|S|}
이다. 이를 칸토어의 정리 라고 한다. 특히, 무한 집합 의 멱집합은 항상 비가산 집합 이다. 선택 공리 를 가정할 경우, 임의의 주어진 기수
κ
{\displaystyle \kappa }
κ
+
{\displaystyle \kappa ^{+}}
|
P
(
S
)
|
=
2
|
S
|
≥
|
S
|
+
{\displaystyle |{\mathcal {P}}(S)|=2^{|S|}\geq |S|^{+}}
만약
S
{\displaystyle S}
가산 무한 집합 일 경우 (즉,
|
S
|
=
ℵ
0
{\displaystyle |S|=\aleph _{0}}
연속체 가설 이라고 한다. 이는 선택 공리 를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론 과 독립적이다. 즉, 만약 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론이 무모순적 이론 일 경우, 연속체 가설과 그 부정은 모두 이 이론에서 증명될 수 없으며, 이 이론은 연속체 가설을 만족시키는 모형 과 그렇지 않은 모형을 동시에 갖는다.
집합
S
{\displaystyle S}
멱집합
P
(
S
)
{\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}
부분 집합 관계
⊆
{\displaystyle \subseteq }
완비 불 대수
(
P
(
S
)
,
⊆
)
{\displaystyle ({\mathcal {P}}(S),\subseteq )}
최소 원소 는 공집합
∅
∈
P
(
S
)
{\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {P}}(S)}
최대 원소 는 원래의 집합
S
∈
P
(
S
)
{\displaystyle S\in {\mathcal {P}}(S)}
합집합
∪
{\displaystyle \cup }
교집합
∩
{\displaystyle \cap }
A
⊆
P
(
S
)
{\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {P}}(S)}
상한 은 합집합
⋃
A
=
⋃
A
∈
A
A
∈
P
(
S
)
{\displaystyle \bigcup {\mathcal {A}}=\bigcup _{A\in {\mathcal {A}}}A\in {\mathcal {P}}(S)}
으로 주어지며, 하한 은 교집합
⋂
(
A
∪
{
S
}
)
=
⋂
A
∈
A
∪
{
S
}
A
∈
P
(
S
)
{\displaystyle \bigcap ({\mathcal {A}}\cup \{S\})=\bigcap _{A\in {\mathcal {A}}\cup \{S\}}A\in {\mathcal {P}}(S)}
으로 주어진다.
공집합 의 멱집합은 공집합을 원소로 가지는 한원소 집합이다.
P
(
∅
)
=
{
∅
}
{\displaystyle {\mathcal {P}}(\varnothing )=\{\varnothing \}}
한원소 집합
{
x
}
{\displaystyle \{x\}}
P
(
{
x
}
)
=
{
∅
,
{
x
}
}
{\displaystyle {\mathcal {P}}(\{x\})=\{\varnothing ,\{x\}\}}
이다.
두원소 집합
{
a
,
b
}
{\displaystyle \{a,b\}}
∅
{\displaystyle \varnothing }
{
a
}
{\displaystyle \{a\}}
{
b
}
{\displaystyle \{b\}}
{
a
,
b
}
{\displaystyle \{a,b\}}
따라서 그 멱집합은
P
(
{
a
,
b
}
)
=
{
∅
,
{
a
}
,
{
b
}
,
{
a
,
b
}
}
{\displaystyle {\mathcal {P}}(\{a,b\})=\{\varnothing ,\{a\},\{b\},\{a,b\}\}}
이다.
세원소 집합
{
a
,
b
,
c
}
{\displaystyle \{a,b,c\}}
∅
{\displaystyle \varnothing }
{
a
}
{\displaystyle \{a\}}
{
b
}
{\displaystyle \{b\}}
{
c
}
{\displaystyle \{c\}}
{
a
,
b
}
{\displaystyle \{a,b\}}
{
a
,
c
}
{\displaystyle \{a,c\}}
{
b
,
c
}
{\displaystyle \{b,c\}}
{
a
,
b
,
c
}
{\displaystyle \{a,b,c\}}
따라서 그 멱집합은
P
(
{
a
,
b
,
c
}
)
=
{
∅
,
{
a
}
,
{
b
}
,
{
c
}
,
{
a
,
b
}
,
{
a
,
c
}
,
{
b
,
c
}
,
{
a
,
b
,
c
}
}
{\displaystyle {\mathcal {P}}(\{a,b,c\})=\{\varnothing ,\{a\},\{b\},\{c\},\{a,b\},\{a,c\},\{b,c\},\{a,b,c\}\}}
이다.
