상호작용 묘사

양자역학에서 상호작용 묘사(相互作用描寫, interaction picture)는 양자역학적 계의 상태 벡터와 관측가능량 연산자가 서로 다른 해밀토니언을 따라 변화하는 묘사다. 슈뢰딩거 묘사와 하이젠베르크 묘사의 중간으로 볼 수 있다.

상호작용 묘사는 양자역학과 양자장론의 섭동 이론에서 널리 쓰인다. 폴 디랙이 도입하였다.

정의

계의 해밀토니언 $H$를 두 항의 합으로 나타내자.

$H=H_{0}+V$.

통상적으로 $H_{0}$은 단순하고 간단한 꼴이고, $V$는 쉽게 풀기 힘든 복잡한 꼴(입자 사이의 상호작용 등)이다. 상호작용 묘사에서는 상태 벡터 $|\psi (t)\rangle$는 상호작용항 $V$를 따라 변화하고, 모든 관측가능량 $A$는 $H_{0}$을 따라 변화한다.

상태 벡터

상호작용 묘사의 상태 벡터는 슈뢰딩거 묘사의 상태 벡터와 다음과 같이 관계하게 정의된다. 아랫첨자 I와 S는 각각 상호작용 묘사와 슈뢰딩거 묘사를 나타낸다.

$|\psi (t)\rangle _{I}=e^{iH_{0}t/\hbar }|\psi (t)\rangle _{S}$

연산자

상호작용 묘사의 연산자는 슈뢰딩거 묘사의 연산자와 다음과 같이 관계하게 정의된다.

$A_{I}=e^{iH_{0}t/\hbar }A_{S}e^{-iH_{0}t/\hbar }$

시간 진행

상태 벡터의 시간에 따른 변화는 다음과 같다.

$i\hbar {\frac {d}{dt}}|\psi (t)\rangle _{I}=e^{iH_{0}t/\hbar }Ve^{-iH_{0}t/\hbar }|\psi (t)\rangle _{I}$

상호작용 묘사의 V_I = exp(iH₀t/ℏ)Vexp(-iH₀t/ℏ)이므로, 이 변화를 다음과 같이 쓸 수 있다.

$i\hbar {\frac {d}{dt}}|\psi (t)\rangle _{I}=V_{I}|\psi (t)\rangle _{I}$

이 방정식은 슈뢰딩거 방정식에서 해밀토니안 H를 V_I로 바꾼 꼴과 유사하다.

연산자의 시간에 따른 변화는 다음과 같다.

$\mathrm {i} \hbar {\frac {d}{dt}}A_{I}=[A_{I},H_{0}]+\mathrm {i} \hbar {\frac {\partial }{\partial t}}A_{I}$.

같이 보기

• 브라-켓 표기법
• 슈뢰딩거 방정식