함수

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함수(函數)를 한자어로 직역하면 상자 수인데, 이를 수학적으로 관련지어 생각해보면 '이름이 f인 이상한 상자'에 일정한 가치가 있는 물건을 넣으면 그 가치에 알맞은 돈의 액수가 나온다고 할때, 모든 물건에 대하여 반드시 '그 각각의 물건의 가치에 맞는 돈의 액수'가 빈틈없이 나오는 관계가 바로 함수이다.

함수를 수학적으로 엄밀히 정의하면, 두 집합 $X$, $Y$에 대하여 $X$ 의 각 원소를 $Y$ 의 오직 하나의 원소에 대응시키는 대응 관계이다. 이 때, 집합 $X$ 를 정의역, 집합 $Y$ 를 공역이라 한다.

여기서 집합 X는 (일정한 가치가 있는) 세상의 모든 물건들의 집합이고, 집합 Y는 그 물건들 각각의 가치에 알맞은 돈의 액수들의 집합이다. 어떤 물건과 그 가치에 알맞은 돈의 관계를 수식으로 표현할 수 있다고 하면, 그 관계를 함수식이라고한다. 참고로, 그 함수식을 구할수만있다면, 수학적가치뿐만아니라 물질적가치또한 만만치않을것이다.

함수는 '수' 뿐만아니라 병원 전화기들과 학교 전화기들,유럽사람들의 손톱들과 북아메리카 사람들의 발톱들,지구형 행성들과 목성형 행성들,자판기 버튼들과 음료수들끼리 아무런 규칙없이 집합 X역할을 하는 집합과 집합 Y역할을 하는 집합이 일대일 대응 또는 일대다 대응을 한다면, 함수라고 할 수 있다.

그러나 이런것들보다 더 수학적으로 다룰 가치가 있어보이는 것은

$y=f(x)$꼴과 같이 집합 X와 집합 Y의 일정한 규칙을 하나의 수식으로 표현할 수 있는 경우이다.

여기서 f(x)가 상수이면 y는 상수함수가 되고, x에 대한 일차다항식이면 y는 x에 대한 일차함수가 이고, x에 대한 이차다항식이면 y에 대한 이차함수가 되는데, f(x)가 몇차다항식이느냐에 따라 그 함수의 성질이 제각각이고 수학적가치 또한 매우 높기때문에 물건들을 대응시키는 것보단 수를 대응시키는 것이 수학에서의 함수이다.

f(x)의 의미

함수식은 일반적으로 y=(x에 대한 식)의 형태로 나타낼 수 있다.(단, x는 독립변수,y는 종속변수)

따라서 y=(x에 대한 식)은 변수 x값이 정해짐에 따라 변수 y의 값이 x의 값에의해 변하는 관계를 나타낸 식으로 볼 수 있다.

이렇게 x는 보통 독립변수로 정의되기때문에 편의를 위해 변수 x의 값에 2를 대입했을 때 또는 변수 x의 값에 (-3.14)을 대입했을 때와 같은 경우를 간단하게 기호로 나타내어야만한다.

위의 경우를 기호로 나타낼때 소괄호 ( )안에 수 또는 문자를 넣기로 하고,답을 구할때 함수가 여러개 나올 수 있으므로 앞에 알파벳f,g,P,Q 등을 이용하여 각각 구별하여 나타내기로한다.

즉, (x에 대한 식)에서 x에 실수a를 대입했을 때의 경우를 간단히 f(a)로 표현하기로 약속했다.

f(x)는 (x에 대한 식)을 간단하게 기호로 나타낸 것으로, 변수x는 정의역 범위안의 그 어떤수로든 변할 수 있다. 따라서 f(x)의 의미는 x의 값에 따라 결과가 변하는 식이다.( f(x)가 상수일때도 결과가 변한다고 할 수 있다.)

따라서 y=f(x)는 y=(x에 대한식)과 의미가 같다.

그리고 y=f(x)일때, f(a)를 함숫값 a라고 부르고, y=f(x)를 함수f라고 부르고 y=g(x)를 함수 g라고 부른다.

참고로, f(x)는 고등수학의 나머지정리 등을 설명할때, x의 값에 따라 결과가 변하는 다항식으로 볼 수 있다.

개요

집합 $X$ 를 정의역으로 하고 집합 $Y$ 를 공역으로 하는 함수 $f$ 는 다음과 같이 표시 할 수 있다.

$f:\,X\to Y$

또한, 함수 $f$ 에 의해 정의역의 원소 $x$ 가 공역의 원소 $y$ 와 대응하는 것은 다음과 같이 표기 할 수 있다.

$x\,f\,y$

함수의 정의역, 공역, 치역

함수 $f$ 에 의해 정의역 $X$ 에 포함되는 원소 $x$ 가 공역 $Y$ 의 원소 $y$ 에 대응할 때 $y$ 를 상이라 하며, 이 때 함수 $f$ 는 $x$ 를 $y$ 로 사상한다고 할 수 있다. 정의역 $X$의 모든 원소 $x$ 에 대응하는 상 전체의 집합 $\{f(x)\|x\in X\}$ 을 치역이라 하고 $f(X)$로 나타낸다. 오른쪽 그림과 같이 치역은 공역의 부분집합이다.

따라서 함수 $f:\,X\to Y$는 다음과 같은 조건을 만족하는 관계이다.

1. 집합 $X$의 모든 원소 $x$에 대해 $x\,f\,y$ 인 원소 $y$가 집합 $Y$ 에 반드시 존재한다.

즉, 정의역의 모든 원소에 대응하는 상이 반드시 있어야 한다.

1. $f(x)=y$ 이고 $f(x)=z$ 이면, $y=z$이다.

즉, 정의역의 모든 원소는 단 하나의 상에 대응하여야 한다.

예를 들어, 한 가족의 남매인 철수, 영희, 민규의 생일이 각각 1월 15일, 3월 20일, 8월 15일이라고 하면, 이 남매의 생일은 함수 관계를 이룬다. 이때, 이 함수의 정의역은 남매를 원소로 하는 집합 {철수, 영희, 민규} 이고, 공역은 1년의 모든 날짜를 원소로 하는 집합 {1월 1일, 1월 2일, ……, 12월 30일, 12월 31일} 이 되며, 그 가운데 정의역에 대응하는 치역은 집합 {1월 15일, 3월 20일, 8월 15일} 이 된다.

정의역의 모든 원소는 그에 해당하는 상을 반드시 가져야 한다. 따라서, 모든 정수의 집합 $\mathbb {Z}$ 의 원소를 $y={\frac {1}{1-x}}$ 의 관계식을 만족하는 집합 Y 로 사상하는 관계는 함수가 아니다. x=1 일 때 나눗셈의 정의에 의해 불능이 되어 상이 존재하지 않기 때문이다. 이 사례의 경우 정의역을 1 이 아닌 모든 정수로 다시 정의하면 불능인 경우가 없어지기 때문에 함수가 된다.

한편, 위에서 서술한 함수의 정의에 따르면 정의역에 속하는 원소는 오직 하나의 상을 가져야 한다. 따라서, -1 보다 크고 1 보다 작은 실수의 집합 $X=\{x\in \mathbb {R} \|-1<x<1\}$에 속하는 임의의 원소 x 를 관계식 $y^{2}=1-x^{2}$에 의해 집합 $Y=\{y\|y^{2}=1-x^{2}\}$에 대응시키는 관계는 함수가 아니다. 이 관계에서 x는 언제나 두 개의 y 값에 대응하기 때문이다. 다만, 함수의 정의를 달리하여 정의역에 속한 하나의 원소가 공역의 여러 값을 상으로 갖는 것을 허용할 수도 있다. 이 경우, 하나의 값만을 갖는 함수를 단가 함수, 두 개 이상의 값을 갖는 함수를 다가 함수라 한다.

정의역에 있는 모든 원소의 상이 모두 다른 값을 가질 필요는 없다. 예를 들어, 모든 자연수의 집합 $\mathbb {N}$의 모든 원소 n을 2로 나눈 나머지의 치역은 오직 $\{0,1\}$ 뿐으로, 홀수의 나머지는 모두 1 이고, 짝수의 나머지는 모두 0 이다. 하지만, 하나의 자연수를 2로 나눈 나머지는 오직 한 가지 뿐이므로 정의역의 모든 원소는 치역과 일대일 대응을 이루게 된다. 따라서 모든 자연수의 집합 $\mathbb {N}$ 를 2로 나눈 나머지로 사상하는 관계는 함수의 정의를 만족한다.

함수 $f$ 의 정의역이 $A$ 이고 치역이 $B$ 일때 $A$ 의 각 원소 $x$에 $B$ 의 각 원소 $y$ 가 대응하면 이를 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$y=f(x)$

이 때 $x$ 를 독립변수, $y$ 를 종속변수라 한다.

역사

삼각함수와 같은 특정 함수에 대한 연구는 오래전부터 있어왔다. 16세기 라이프치히 대학교의 수학교수이자 코페르니쿠스의 《천구의 회전에 대해》가 출간되는데 큰 역할을 하였던 레티쿠스는 1596년 《삼각형의 연구 개요》(라틴어: Opus Palatinum de triangulis)에서 삼각함수표를 정리하여 발표하기도 하였다. 그러나 당시의 연구는 현재의 함수 정의에 확립되어 있는 관계에 대한 개념이 없이 단순히 계산의 편의를 도모하기 위한 것이었다. 한편, 르네 데카르트는 직교좌표계를 이용하여 오늘날 함수의 관계식에 해당하는 방정식을 그래프로 표현하는 방법을 제시하였다.

함수라는 용어를 수학적인 의미에서 처음 사용한 사람은 고트프리트 라이프니츠이다. 라이프니츠는 1684년 미분과 적분의 계산법을 발표하면서 연속적으로 변하게 하는 것을 함수라고 표현하였는데 이는 오늘날의 변수에 해당하는 개념이다. 라이프니츠는 곡선위에 있는 한 점의 기울기를 나타내기 위해 함수의 극한을 도입하였다.

18세기에 레온하르트 오일러는 함수를 변수와 상수에 의해서 만들어지는 해석적인 수식으로 정의하였고, 19세기에 들어와 페터 구스타프 르죈 디리클레는 두 변수 x, y에 있어서 x의 값을 정하면 그에 따라서 y의 값이 정해질 때, y는 x의 함수라 정의하여 라이프니츠의 함수 개념을 버렸다. 현재와 같이 집합의 개념을 도입한 함수의 정의는 19세기의 수학자인 게오르크 칸토어가 제기한 집합론에 근거한 것이다. 버트런드 러셀은 집합을 기반으로 수학의 공리를 재서술하면서 함수 역시 이를 기반으로 다시 정의하였다.

구분

함수는 수학적 특징에 따라 여러 종류로 구분된다.

• 전사, 단사, 전단사함수

함수 $f:\,X\to Y$에서 공역과 치역이 같을 때 이 함수를 전사함수라 하며, 치역의 각 원소 하나 마다 오직 하나의 정의역 원소가 대응하는 함수를 단사함수라 하고, 전사 함수이면서 단사 함수인 경우를 전단사함수라 한다. 일차방정식을 관계식으로 하는 함수는 대표적인 전단사함수이다.

단사함수	전사함수	전단사함수
하나의 상수에 대응하는 변수가 오직 한 개 뿐이다.	치역과 공역이 같다.	정의역과 공역이 일대일로 대응된다.

• 역함수

함수 $y=f(x)$ 가 있을 때 $f(x)=y$ 가 되는 관계를 생각할 수 있다. 이러한 관계를 역함수라 하고 $f$ ^-1 로 표기, 'inverse'(인버스)라고 읽는다. 예를 들어 지수함수의 역함수는 로그함수이다.

• 단조 증가와 단조 감소

함수 $f$ 의 정의역 내의 모든 원소 $x_{1},x_{2}$ 에 대하여 $x_{1}<x_{2}$ 이면 $f(x_{1})\leq f(x_{2})$ 가 성립할 때 단조 증가한다고 하며 반대의 경우를 단조 감소한다고 한다. 단조 증가하거나 감소하는 함수를 단조함수라 한다.

• 홀함수와 짝함수

실수의 집합 $\mathbb {R}$을 정의역으로 하고 $f(-x)=f(x)\$의 관계가 성립할 때 이를 짝함수 또는 우함수라 한다. $f(x)=x^{2}$ 는 대표적인 짝함수인데, 예를 들어 $x$ 의 값이 2 또는 -2 일 경우 이에 해당하는 값는 모두 4이다. 이 경우 그래프는 좌우 동형을 보이게 된다. 한편, $f(-x)=-f(x)\$ 의 관계가 성립하는 경우는 홀함수 또는 기함수라 한다. 예를 들어 $f(x)=x^{3}$ 와 같은 함수가 있다.

중요 함수

다음은 수학에서 중요하게 취급되는 함수의 목록이다.

• 로그함수
• 지수함수
• 삼각함수
• 리만 제타 함수