수학에서 갈루아 군(Galois群, 영어: Galois group)은 특정한 종류의 체의 확대에 대응되는 군이다. 갈루아 이론은 갈루아 군을 이용해 체의 확대 (및 이를 생성하는 다항식)을 연구하는 분야이다.
체의 확대
가 주어졌다고 하자. 이 경우, 체
의 자기 동형
가운데
인 것들은 함수의 합성에 대하여 군을 이루며, 이를 체의 확대
의 자기 동형군
라고 한다.
만약
가 갈루아 확대일 경우, 그 자기 동형군을 갈루아 군
이라고 한다.
체
의 분해 가능 폐포
의 자기 동형군
을 절대 갈루아 군(영어: absolute Galois group)
이라고 한다. 절대 갈루아 군은 스펙트럼
의 에탈 기본군과 표준적으로 동형이다.
![{\displaystyle \operatorname {Gal} K\cong \pi _{1}^{\operatorname {{\acute {e}}t} }(\operatorname {Spec} K)}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9FoDlDnqs5nqo5oNeQaNm2ztmPzAeOytnEytC4ygzDztsPyjlFotKP)
는 최대 갈루아 확대이므로, 모든 갈루아 군은 절대 갈루아 군의 부분군이다.
갈루아 확대의 갈루아 군은 자연스럽게 사유한군의 구조를 가져 위상군이 된다. 구체적으로, 갈루아 확대
에 대하여, 그 부분 확대들의 격자
및 갈루아 부분 확대들의 격자
![{\displaystyle \operatorname {Sub_{Gal}} (L/K)\subset \operatorname {Sub} (L/K)}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8NygnDzjm5oqe2zDKPzga2ntw0oNvAzDzCnDePygoQzDvAo2nCaAnC)
를 정의하자. 그렇다면, 갈루아 군
은 다음과 같이 유한군들의 역극한으로 나타낼 수 있다.
![{\displaystyle \operatorname {Gal} (L/K)=\varprojlim _{M\in \operatorname {Sub_{Gal}} (L/K)}^{[M:K]<\aleph _{0}}\operatorname {Gal} (M/K)}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8Na2nEoDlEatvAngdFajC1aqa0yge0oDs3oNo0njBEzAe5nDs1ntnB)
이와 같이 유한군의 역극한으로 나타내어지는 위상군을 사유한군이라고 하며, 갈루아 군의 사유한 위상을 크룰 위상(영어: Krull topology)이라고 한다.
갈루아 이론의 기본 정리(영어: fundamental theorem of Galois theory)에 따라, 다음과 같은 표준적인 전단사 대응이 존재한다.
체론 |
군론
|
의 부분 확대 ![{\displaystyle L/K}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9Caja4atC0ztCOyti1zDC5z2e5yqdEzjzBzqe3ajo3nji4oNBFyjvE) |
절대 갈루아 군의 닫힌 부분군
|
의 유한 부분 확대 ![{\displaystyle L/K}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9Caja4atC0ztCOyti1zDC5z2e5yqdEzjzBzqe3ajo3nji4oNBFyjvE) |
절대 갈루아 군의 열린닫힌 부분군
|
유한 확대 에서, 를 고정시키는 매장 ![{\displaystyle L\hookrightarrow K^{\operatorname {sep} }}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO85zqrAoqi2zNC2oNo3zNK0njJDaqwQzNCOnjFDaDmPytdEyte4oDC4) |
의 (왼쪽) 잉여류
|
갈루아 확대 ![{\displaystyle L/K}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9Caja4atC0ztCOyti1zDC5z2e5yqdEzjzBzqe3ajo3nji4oNBFyjvE) |
절대 갈루아 군의 닫힌 정규 부분군
|
의 부분 확대 의 켤레 확대(영어: conjugate extension) ![{\displaystyle \sigma (L)/K}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO80otrCzqa0o2oOaNhBntmPzqrByteNnjBEoDKQoDa5zqdFngo2ntaQ) |
의 켤레 부분군
|
이는 절대 갈루아 군 대신 (상대) 갈루아 군에 대해서도 마찬가지로 성립한다.
갈루아 군의 군 코호몰로지는 여러 흥미로운 정보들을 담고 있다. 이는 또한
의 스펙트럼
의 에탈 코호몰로지와 같다.
체의 확대
가 주어졌을 때, 자기 동형군
는 정의에 따라
위에 자연스럽게 작용하며,
은 군환
위의 가군을 이룬다.
![{\displaystyle (n_{1}g_{1}+n_{2}g_{2}+\cdots +n_{k}g_{k})\cdot a=n_{1}g_{1}(a)+n_{2}g_{2}(a)+\cdots +n_{k}g_{k}(a)\qquad \forall g_{1},\dots ,g_{k}\in \operatorname {Aut} (L/K),\;n_{1},\dots ,n_{k}\in \mathbb {Z} }](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9EatnAoqi5oDKPaAo1nqiNajdAzDmNzgoQajrCnjo1aDJCz2vBzNm1)
가법 힐베르트 90번 정리(加法Hilbert九十番定理, 영어: additive Hilbert’s theorem 90)에 따르면, 유한 갈루아 확대
에 대하여,
계수의 고차 군 코호몰로지는 자명군이다.
![{\displaystyle \operatorname {H} ^{n}(\operatorname {Gal} (L/K);L)={\begin{cases}K&n=0\\0&n>0\end{cases}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8PoqiNnAnEyjCPnjaPzDCQntBFzAa5zjdDztFCnjwNzqiQygiNytdB)
(이는 정규 기저 정리(영어: normal basis theorem)로부터 증명할 수 있다.)
체의 확대
가 주어졌을 때, 자기 동형군
는 가역원군
위에 자연스럽게 작용하며,
는 군환
위의 가군을 이룬다.
![{\displaystyle (n_{1}g_{1}+n_{2}g_{2}+\cdots +n_{k}g_{k})\cdot a=(g_{1}(a))^{n_{1}}(g_{2}(a))^{n_{1}}\cdots (g_{k}(a))^{n_{k}}\qquad \forall g_{1},\dots ,g_{k}\in \operatorname {Gal} (L/K),\;n_{1},\dots ,n_{k}\in \mathbb {Z} }](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9CoNzFa2nEzNK4ata3aNlEngvFoti2ajvCyqnBz2i2zNJFa2rEotC4)
승법 힐베르트 90번 정리(乘法Hilbert九十番定理, 영어: multiplicative Hilbert’s theorem 90)에 따르면, 유한 확대
의 자기 동형군
가 유한군이라면,
계수의 1차 군 코호몰로지는 자명군이다.
![{\displaystyle \operatorname {H} ^{1}(\operatorname {Gal} (L/K);L^{\times })=0}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9Cztm1zgrEzAwPaqnFoNCNntK3oDKQago3nDvDzNBDaNC1yjiNotwP)
(이 경우
가 갈루아 확대라고 가정할 필요가 없다.)
- 임의의 체
에 대하여,
는 자명군이다.
은 두 개의 원소를 가지며, 이는 항등 함수와
이다.
모든 사유한군은 어떤 갈루아 확대의 갈루아 군으로 나타낼 수 있다.
- 대수적으로 닫힌 체
의 절대 갈루아 군
은 자명군이다.
- 실수체의 절대 갈루아 군
는 두 개의 원소를 갖는다. 그 둘은 항등 함수와 복소 공액 사상
이다. (실수체는 완전체이므로, 그 분해 가능 폐포는 대수적 폐포와 같다.)
- 유리수체의 절대 갈루아 군
는 무한군이다. 유리수체의 절대 갈루아 군의 직접적인 묘사는 알려져 있지 않다. 다만, 벨리의 정리(영어: Belyi’s theorem)에 따르면 유리수체의 절대 갈루아 군은 데생당팡의 집합 위에 자연스러운 충실한 작용을 갖는다.
아르틴-슈라이어 정리(영어: Artin–Schreier theorem)에 따르면, 절대 갈루아 군 가운데 유한군인 것은 자명군과 2차 순환군
밖에 없다. 즉, 모든 절대 갈루아 군은 위 세 가지의 예와 비슷하다.