해석학 및 일반위상수학 에서 균등 수렴 (均等收斂, 영어 : uniform convergence ) 또는 고른 수렴 또는 평등 수렴 (平等收斂) 또는 일양 수렴 (一樣收斂)은 함수열이 모든 점에서 “동일한 속도”로 주어진 함수로 수렴하는 성질이다. 점별 수렴 보다 더 강한 개념이며, 점별 수렴이 보존하지 않는 여러 성질을 보존한다. 예를 들어, 연속 함수 의 열의 균등 극한은 연속 함수다.
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
집합
X
{\displaystyle X}
균등 공간
(
Y
,
E
Y
)
{\displaystyle (Y,{\mathcal {E}}_{Y})}
함수 의 그물
(
f
n
:
X
→
Y
)
n
∈
(
N
,
≲
)
{\displaystyle (f_{n}\colon X\to Y)_{n\in (N,\lesssim )}}
함수
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
만약 이들이 다음 조건을 만족시킨다면,
(
f
n
)
n
∈
N
{\displaystyle (f_{n})_{n\in N}}
f
{\displaystyle f}
균등 수렴 한다고 하며,
f
{\displaystyle f}
(
f
n
)
n
∈
N
{\displaystyle (f_{n})_{n\in N}}
균등 극한 이라고 한다.
임의의 측근
ϵ
∈
E
Y
{\displaystyle \epsilon \in {\mathcal {E}}_{Y}}
N
ϵ
∈
N
{\displaystyle N_{\epsilon }\in N}
임의의
n
≳
N
ϵ
{\displaystyle n\gtrsim N_{\epsilon }}
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
f
n
(
x
)
≈
ϵ
f
(
x
)
{\displaystyle f_{n}(x)\approx _{\epsilon }f(x)}
이는 흔히
f
n
⇉
f
{\displaystyle f_{n}\rightrightarrows f}
라고 쓴다. 예를 들어, 만약
Y
=
R
{\displaystyle Y=\mathbb {R} }
실수선 이며, 함수의 그물
(
f
n
:
X
→
R
)
n
∈
N
{\displaystyle (f_{n}\colon X\to \mathbb {R} )_{n\in \mathbb {N} }}
임의의 양의 실수
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
N
ϵ
∈
N
{\displaystyle N_{\epsilon }\in \mathbb {N} }
임의의
n
≥
N
ϵ
{\displaystyle n\geq N_{\epsilon }}
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
|
f
n
(
x
)
−
f
(
x
)
|
≤
ϵ
{\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|\leq \epsilon }
사실, 균등 수렴은 함수 집합
Y
X
{\displaystyle Y^{X}}
균등 수렴 위상 에서의 수렴 이다. 특히,
Y
=
R
{\displaystyle Y=\mathbb {R} }
R
X
{\displaystyle \mathbb {R} ^{X}}
균등 거리 함수
d
(
f
,
g
)
=
sup
x
∈
X
|
f
(
x
)
−
g
(
x
)
|
{\displaystyle d(f,g)=\sup _{x\in X}|f(x)-g(x)|}
로부터 유도되는 위상에 대한 수렴이다.
집합
X
{\displaystyle X}
정의역 으로 하고 균등 공간
(
Y
,
E
Y
)
{\displaystyle (Y,{\mathcal {E}}_{Y})}
공역 으로 하는 함수 의 그물
(
f
n
:
X
→
Y
)
n
∈
(
N
,
≲
)
{\displaystyle (f_{n}\colon X\to Y)_{n\in (N,\lesssim )}}
함수
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
(
f
n
)
n
∈
N
{\displaystyle (f_{n})_{n\in N}}
f
{\displaystyle f}
점별 수렴 한다.
집합
X
{\displaystyle X}
정의역 으로 하고 아벨 위상군
(
Y
,
+
)
{\displaystyle (Y,+)}
공역 으로 하는 함수열
(
f
n
:
X
→
Y
)
n
∈
N
{\displaystyle (f_{n}\colon X\to Y)_{n\in \mathbb {N} }}
∑
n
=
0
∞
f
n
{\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{n}}
(
f
n
)
n
∈
N
{\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}
0
:
X
→
Y
{\displaystyle 0\colon X\to Y}
집합
X
{\displaystyle X}
정의역 으로 하고 완비 균등 공간
(
Y
,
E
Y
)
{\displaystyle (Y,{\mathcal {E}}_{Y})}
공역 으로 하는 함수 의 그물
(
f
n
:
X
→
Y
)
n
∈
(
N
,
≲
)
{\displaystyle (f_{n}\colon X\to Y)_{n\in (N,\lesssim )}}
동치 다.
f
n
{\displaystyle f_{n}}
f
n
{\displaystyle f_{n}}
Y
X
{\displaystyle Y^{X}}
균등 수렴 균등 구조 에 대하여) 코시 그물 이다. 즉, 임의의 측근
ϵ
∈
E
Y
{\displaystyle \epsilon \in {\mathcal {E}}_{Y}}
N
ϵ
∈
N
{\displaystyle N_{\epsilon }\in N}
임의의
m
,
n
≳
N
ϵ
{\displaystyle m,n\gtrsim N_{\epsilon }}
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
f
m
(
x
)
≈
ϵ
f
n
(
x
)
{\displaystyle f_{m}(x)\approx _{\epsilon }f_{n}(x)}
(표준적인 균등 구조를 갖춘) 실수선
Y
=
R
{\displaystyle Y=\mathbb {R} }
완비 균등 공간 이다. 또한, 함수의 열
(
f
n
:
X
→
Y
)
n
∈
N
{\displaystyle (f_{n}\colon X\to Y)_{n\in \mathbb {N} }}
임의의 양의 실수
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
N
ϵ
∈
N
{\displaystyle N_{\epsilon }\in \mathbb {N} }
임의의
m
,
n
≥
N
ϵ
{\displaystyle m,n\geq N_{\epsilon }}
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
|
f
m
(
x
)
−
f
n
(
x
)
|
≤
ϵ
{\displaystyle |f_{m}(x)-f_{n}(x)|\leq \epsilon }
만약
Y
{\displaystyle Y}
X
{\displaystyle X}
한원소 집합 인 경우를 생각할 수 있다.
균등 수렴을 위한 다양한 수렴 판정법 이 존재한다.
위상 공간
X
{\displaystyle X}
정의역 으로 하고 균등 공간
(
Y
,
E
Y
)
{\displaystyle (Y,{\mathcal {E}}_{Y})}
공역 으로 하는 연속 함수 의 그물
(
f
n
:
X
→
Y
)
n
∈
(
N
,
≲
)
{\displaystyle (f_{n}\colon X\to Y)_{n\in (N,\lesssim )}}
함수
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
f
{\displaystyle f}
연속 함수 다.
반대로, 다음 데이터가 주어졌다고 하자.
콤팩트 공간
X
{\displaystyle X}
연속 함수 의 단조 그물
(
f
n
:
X
→
R
)
n
∈
(
N
,
≲
)
{\displaystyle (f_{n}\colon X\to \mathbb {R} )_{n\in (N,\lesssim )}}
(연속 함수의 그물) 모든
f
n
{\displaystyle f_{n}}
연속 함수 다.
(단조 그물) 임의의
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
n
≲
n
′
{\displaystyle n\lesssim n'}
f
n
(
x
)
≤
f
n
′
(
x
)
{\displaystyle f_{n}(x)\leq f_{n'}(x)}
연속 함수
f
:
X
→
R
{\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} }
디니 정리
f
n
{\displaystyle f_{n}}
f
{\displaystyle f}
점별 수렴 한다면,
f
n
{\displaystyle f_{n}}
f
{\displaystyle f}
X
{\displaystyle X}
콤팩트 공간 이라고 가정하지 않으면 참이 아니다. 예를 들어, 연속 함수 의 단조열
(
x
↦
x
n
)
:
(
0
,
1
)
→
R
{\displaystyle (x\mapsto x^{n})\colon (0,1)\to \mathbb {R} }
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
연속 함수 0으로 점별 수렴 하지만, 이는 균등 수렴이 아니다. 단조 그물의 가정 역시 필수적이다. 예를 들어, 연속 함수 의 열
(
x
↦
n
x
exp
(
−
n
x
2
)
)
:
[
0
,
1
]
→
R
{\displaystyle (x\mapsto nx\exp(-nx^{2}))\colon [0,1]\to \mathbb {R} }
연속 함수 0으로 점별 수렴하지만, 이는 균등 수렴이 아니다.
임의의 양의 실수
ϵ
∈
R
+
{\displaystyle \epsilon \in \mathbb {R} ^{+}}
n
∈
N
{\displaystyle n\in N}
K
ϵ
,
n
=
{
x
∈
X
:
|
f
(
x
)
−
f
n
(
x
)
|
≥
ϵ
}
⊆
X
{\displaystyle K_{\epsilon ,n}=\{x\in X\colon |f(x)-f_{n}(x)|\geq \epsilon \}\subseteq X}
라고 정의하자.
K
ϵ
,
n
{\displaystyle K_{\epsilon ,n}}
콤팩트 공간
X
{\displaystyle X}
닫힌집합 이며, 따라서 콤팩트 집합 이다. 임의의
n
≲
n
′
{\displaystyle n\lesssim n'}
|
f
(
x
)
−
f
n
(
x
)
|
=
f
(
x
)
−
f
n
(
x
)
≳
f
(
x
)
−
f
n
′
(
x
)
=
|
f
(
x
)
−
f
n
′
(
x
)
|
{\displaystyle |f(x)-f_{n}(x)|=f(x)-f_{n}(x)\gtrsim f(x)-f_{n'}(x)=|f(x)-f_{n'}(x)|}
이므로,
K
n
⊃
K
n
′
{\displaystyle K_{n}\supset K_{n'}}
(
K
ϵ
,
n
)
n
∈
N
{\displaystyle (K_{\epsilon ,n})_{n\in N}}
하향 집합 을 이룬다. 임의의
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
(
f
n
(
x
)
)
n
∈
N
{\displaystyle (f_{n}(x))_{n\in N}}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
x
∉
K
ϵ
,
n
{\displaystyle x\not \in K_{\epsilon ,n}}
n
∈
N
{\displaystyle n\in N}
⋂
n
∈
N
K
ϵ
,
n
=
∅
{\displaystyle \textstyle \bigcap _{n\in N}K_{\epsilon ,n}=\varnothing }
칸토어 교점 정리 에 따라,
K
ϵ
,
N
ϵ
=
∅
{\displaystyle K_{\epsilon ,N_{\epsilon }}=\varnothing }
N
ϵ
∈
N
{\displaystyle N_{\epsilon }\in N}
n
≳
N
ϵ
{\displaystyle n\gtrsim N_{\epsilon }}
K
ϵ
,
n
=
∅
{\displaystyle K_{\epsilon ,n}=\varnothing }
(
f
n
)
n
∈
N
{\displaystyle (f_{n})_{n\in N}}
f
{\displaystyle f}
리만 적분 가능 함수 의 열
(
f
n
:
[
a
,
b
]
→
R
)
n
∈
N
{\displaystyle (f_{n}\colon [a,b]\to \mathbb {R} )_{n\in \mathbb {N} }}
함수
f
:
[
a
,
b
]
→
R
{\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }
f
{\displaystyle f}
리만 적분 가능 함수 이며, 또한
∫
a
b
f
d
x
=
lim
n
→
∞
∫
a
b
f
n
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{b}f\,dx=\lim _{n\to \infty }\int _{a}^{b}f_{n}\,dx}
이다.
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
미분 가능 함수 의 열
(
f
n
:
[
a
,
b
]
→
R
)
n
∈
N
{\displaystyle (f_{n}\colon [a,b]\to \mathbb {R} )_{n\in \mathbb {N} }}
함수
g
:
[
a
,
b
]
→
R
{\displaystyle g\colon [a,b]\to \mathbb {R} }
또한, 이들이 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.
lim
n
→
∞
f
n
(
x
0
)
∈
R
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}(x_{0})\in \mathbb {R} }
x
0
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle x_{0}\in [a,b]}
f
n
′
{\displaystyle f_{n}'}
g
{\displaystyle g}
그렇다면, 다음이 성립한다.
f
n
{\displaystyle f_{n}}
미분 가능 함수
f
:
[
a
,
b
]
→
R
{\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }
f
′
=
g
{\displaystyle f'=g}
복소평면 의 열린집합
U
⊆
C
{\displaystyle U\subseteq \mathbb {C} }
정의역 으로 하는 복소수 값 정칙 함수 의 열
(
f
n
:
U
→
C
)
n
∈
N
{\displaystyle (f_{n}\colon U\to \mathbb {C} )_{n\in \mathbb {N} }}
함수
f
:
U
→
C
{\displaystyle f\colon U\to \mathbb {C} }
f
{\displaystyle f}
정칙 함수 다. 이는 모레라 정리 의 따름정리다.
함수열
f
n
:
[
0
,
1
]
→
R
(
n
∈
Z
+
)
{\displaystyle f_{n}\colon [0,1]\to \mathbb {R} \qquad (n\in \mathbb {Z} ^{+})}
을 생각하자. 만약
f
n
(
x
)
=
x
/
n
(
∀
n
∈
Z
+
,
x
∈
[
0
,
1
]
)
{\displaystyle f_{n}(x)=x/n\qquad (\forall n\in \mathbb {Z} ^{+},\;x\in [0,1])}
라면,
f
n
{\displaystyle f_{n}}
f
n
(
x
)
=
x
n
(
∀
n
∈
Z
+
,
x
∈
[
0
,
1
]
)
{\displaystyle f_{n}(x)=x^{n}\qquad (\forall n\in \mathbb {Z} ^{+},\;x\in [0,1])}
라면,
f
n
{\displaystyle f_{n}}
f
:
[
0
,
1
]
→
R
{\displaystyle f\colon [0,1]\to \mathbb {R} }
f
(
x
)
=
{
0
x
∈
[
0
,
1
)
1
x
=
1
{\displaystyle f(x)={\begin{cases}0&x\in [0,1)\\1&x=1\end{cases}}}
로 점별 수렴 하지만, 균등 수렴하지 않는다.
