K이론에서, 뒤틀린 K이론(뒤틀린K理論, 영어: twisted K-theory)은 어떤 3차 특이 코호몰로지류에 의존하는, 위상 K이론의 일반화이다.[1]
다음이 주어졌다고 하자.
- 하우스도르프 콤팩트 공간
![{\displaystyle M}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9AyjdDoqvBytG5ygzBnjmOnAvCajG3atdBzqoQoNmPzti3ztFFagvC)
- 3차 특이 코호몰로지류
![{\displaystyle H\in \operatorname {H} ^{3}(M;\mathbb {Z} )}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9Eota1aDBFzgvEyqsPygvAoti3age2oAaPzqaPatoNothEyjw4yteQ)
임의의 무한 차원 분해 가능 복소수 힐베르트 공간
의 프레드홀름 작용소의 공간을
![{\displaystyle \operatorname {Fred} ({\mathcal {H}})}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO85nja3aDCOnjvBati0otsQoDlFo2nBnjo5oqaPyjmNyjdCatrFzDKQ)
라고 하자. 이는 작용소 노름을 통하여 거리 공간을 이루며, 이는 0차 복소수 위상 K군의 분류 공간이다.
![{\displaystyle \operatorname {K} ^{0}(-)=[-,\operatorname {Fred} ({\mathcal {H}})]}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9AnAs3zqvCzqnBntvAntsNzgs3yqzAoDs4ntKOoqhEa2zCnjnFagwO)
의 사영 유니터리 군
![{\displaystyle 1\to \mathbb {C} ^{\times }\operatorname {id} _{\mathcal {H}}\to \operatorname {PU} ({\mathcal {H}})\to \operatorname {U} ({\mathcal {H}})\to 1}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO83oAs0ytG5aqzEngvDoNKOaAi2oAo3aji4o2e3aNaQoDvDa2oNnDeQ)
을 생각하자. 그 호모토피 유형은 무한 순환군의 2차 에일렌베르크-매클레인 공간
이다.
![{\displaystyle \operatorname {PU} ({\mathcal {H}})\simeq \operatorname {K} (\mathbb {Z} ,2)}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8NyjdFzDsNyjiPnDmQotaNaNi2oAnEnDhFytw2nDC2nqdDzga0ajG0)
따라서,
에 대응되는
-주다발
![{\displaystyle \operatorname {PU} ({\mathcal {H}})\hookrightarrow P\twoheadrightarrow M}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8PagnFnqeOzDdBaNoPzNwOztoPyjCQnjm0zDCOate4ytm0oDw0aNaO)
을 고를 수 있다. 그렇다면,
는
및
위의 오른쪽 군 작용을 갖는다.
![{\displaystyle \operatorname {Fred} ({\mathcal {H}})\times \operatorname {PU} ({\mathcal {H}})\to \operatorname {Fred} ({\mathcal {H}})}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO83zNGPoAw0yjBAzDe4ygsQzgnCyqs3zDJDajsOnqw2yghAzNw4ajm1)
![{\displaystyle (A,[U])\mapsto U^{-1}AU\qquad \forall U\in \operatorname {U} ({\mathcal {H}})}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8Pnqi5aDa2aAaPzjw5zDs3njFBotnCoAeOzNe0o2wQaDBDnqvDaje2)
따라서, 등변 함수
![{\displaystyle P\to \operatorname {Fred} ({\mathcal {H}})}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8OoNG5zqa2nAo5yte1zjGQytBCaje1yjhAyjsNota2aDi5aAaQoqiO)
의 개념을 정의할 수 있다.
의,
에 대한 뒤틀린 K군은 등변 연속 함수 공간의 연결 성분의 집합
![{\displaystyle \operatorname {K} (M,H)=[P_{H},\operatorname {Fred} ({\mathcal {H}})]_{\operatorname {PU} ({\mathcal {H}})}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9Dnqo4zjoPatG1ata5nAvAzjiQaNhEzNGQzAaQa2zEz2vCaqeNoDKQ)
이다.
연관 벡터 다발
![{\displaystyle P_{H}\times _{\operatorname {PU} ({\mathcal {H}})}\operatorname {Fred} ({\mathcal {H}})}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9DzNs1nAhFngdBo2o2yqiPzDi1zDw4ajmOzjJBoNlAztvBaDaOoNJB)
를 생각하자.
의,
에 대한 뒤틀린 K군은 그 연속 단면의 공간의 연결 성분의 집합이다.
![{\displaystyle \operatorname {K} (M,H)=[M,P_{H}\times _{\operatorname {PU} ({\mathcal {H}})}]_{M}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO82aNFFztzEnDFEztBDztGQatdCygw2nDJAnjJCnqi0oNlAnjw1oAnA)
뒤틀린 K군은 아벨 군을 이룬다. 뒤틀린 K군 사이의 다음과 같은 텐서곱이 존재한다.
![{\displaystyle \operatorname {K} ^{0}(M;H)\times \operatorname {K} ^{0}(M;H')\to \operatorname {K} ^{0}(M;H)\times \operatorname {K} ^{0}(M;H+H')}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9Cata5oqa4ztG4nDiPygrDaNoPygeQnghEngw1aNK1oDG4nDJEaNvC)
즉, 모든 뒤틀린 K군들의 직합은 가환환을 이룬다.
일반 위상 K이론의 분류 공간은 무한 차원 분해 가능 복소수 힐베르트 공간
의 즉, 어떤 위상 공간
의 0차 복소수 위상 K군은 호모토피류로 주어진다.
![{\displaystyle \operatorname {K} ^{0}(M)=[M,\operatorname {Fred} ({\mathcal {H}})]}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8PzjGOnAi5nDoQageQnDhEoqw2zghEzDKQz2i2njwPnjo3zAwQz2s5)
즉, 매끄러운 다양체
위의 자명한
-주다발
![{\displaystyle P=M\times \operatorname {PU} ({\mathcal {H}})}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9EzqsQytsOoqs3aDm2aqdDajs4aAs1aDhAotnAaAhCzNw2zjaPotdA)
을 정의하였을 때, 함수
![{\displaystyle P\to \operatorname {Fred} ({\mathcal {H}})}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8OoNG5zqa2nAo5yte1zjGQytBCaje1yjhAyjsNota2aDi5aAaQoqiO)
가운데
의 작용에 대한 등변 함수인 것들의 호모토피류들은 0차 복소수 위상 K군과 같다.
![{\displaystyle \operatorname {K} ^{0}(M)=[P,\operatorname {Fred} ({\mathcal {H}})]_{\operatorname {PU} ({\mathcal {H}})}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO81zNFBnAvEzAdEzjG3a2dCnti3atGOzqe3o2vCaAoPnjlAytBBoNiP)
이제, 위 구성을 자명한
-주다발 대신 자명하지 않은 주다발로 일반화할 수 있다. 이 경우,
의 사영 유니터리 군
은
따라서,
-주다발은
의 3차 코호몰로지류
로 분류된다.
뒤틀린 K이론은 끈 이론의 D-막을 분류한다.[2] 이 경우, 사용된 3차 코호몰로지류는 캘브-라몽 장의 장세기이다.
막스 카루비(프랑스어: Max Karoubi)와 피터 도노번(영어: Peter Donovan)이 1960년대 말에 도입하였다.[3][4]
- ↑ Karoubi, Max (2007). “Twisted K-theory old and new” (영어). arXiv:math/0701789.
- ↑ Maldacena, Juan; Moore, Gregory; Seiberg, Nathan (2010). “D-brane instantons and K-theory charges” (영어). arXiv:hep-th/0108100.
- ↑ Karoubi, Max (1968). “Algèbres de Clifford et K-théorie”. 《Ann. Sci. École Normal Superieur》 (프랑스어): 161–270.
- ↑ Donovan, Peter; Karoubi, Max (1970). “Graded Brauer groups and K-theory with local coefficients”. 《Publications Mathématiques de l’IHÉS》 (영어) 38: 5–25.