응집물질물리학에서 디바이 모형(Debye model)은 결정의 비열을 포논을 사용하여 다루는 모형이다.
피터 디바이가 1912년에 발표하였다.[1]
부피가
이고,
개의 입자로 이루어져 있는 결정을 생각하자. 결정 속 포논이 다음과 같은 선형 분산 관계를 가진다고 하자.
.
여기서
는 디랙 상수,
는 결정 속 음속,
는 포논의 파수 벡터이다. (물론 실제 포논의 분산 관계는 비선형이지만,
가 매우 작은 경우에는 분산 관계를 대략 선형으로 간주할 수 있다.)
결정의 크기가
이므로, 정상파 파수는 다음과 같다.
(
.
).
포논은 보스-아인슈타인 통계를 따르고, 화학 퍼텐셜이 0이다 (즉, 퓨가시티가 1이다). 따라서 포논 기체의 큰 바른틀 분배 함수는 다음과 같다.
.
(여기서
은 포논의 자유도의 수이다.)
합을 토머스-페르미 근사로 쓰면 같다.
![{\displaystyle \approx -{\frac {3\pi }{2}}\int _{0}^{\sqrt[{3}]{6N/\pi }}n^{2}\ln \left(1-\exp(-\beta hvn/2{\sqrt[{3}]{L}})\right)\;dn}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9BzjzAaqa4nDrAnAoOa2nAaje2nAvBzDwOyjsOzje0atKPzDm0ntm4)
.
여기서
![{\displaystyle T_{\text{D}}={\frac {hv}{k}}{\sqrt[{3}]{3N/4\pi V}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9Cnto1yqnBoDw5aAoOatsNoqnDyqwQajmQnDi2njKPz2aNaDBEagzD)
를 디바이 온도(Debye temperature)라고 하고, 이에 대응하는 주파수
![{\displaystyle \nu _{\text{D}}=v{\sqrt[{3}]{3N/4\pi V}}}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8QaqdFzDC1oDi2zNa4zDFAzNhAnDK5nqhBytnEyjw2njoOztiPngeN)
를 디바이 주파수(Debye frequency)라고 한다.
디바이 모형과 아인슈타인 모형이 예측하는 열용량. 실선은 디바이 모형, 점선은 아인슈타인 모형이다. 높은 온도에서는 두 모형 모두 뒬롱-프티 법칙(붉은 점선)에 부합하는 것을 볼 수 있다.
디바이 결정의 에너지는
![{\displaystyle =9NkT_{\text{D}}\int _{0}^{1}{\frac {x^{3}}{\exp(x(T_{\text{D}}/T))-1}}\;dx}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO85atnAyjGNzgdAzNiQnjnCaDhBaqrByji2oDG4aAo5zNi4ygeQzga5)
![{\displaystyle ={\frac {9NkT^{4}}{T_{\text{D}}^{3}}}\int _{0}^{T_{\text{D}}/T}{\frac {y^{3}}{\exp y-1}}\;dy}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO9Bo2zEygw3zAiQo2zEato0ntJDyje4aji4a2eNzqeOzthFzNhFaqwO)
이고, 그 비열용량은
![{\displaystyle =9T_{\text{D}}^{2}\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}\exp(x(T_{\text{D}}/T))}{T^{2}(\exp(x(T_{\text{D}}/T))-1)^{2}}}\;dx}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO81aNe1atmQajG1aDs0oAe0nqs4o2zAzgnCnDzEatwNzti1a2s2z2sQ)
![{\displaystyle =9(T/T_{\text{D}})^{3}\int _{0}^{T_{\text{D}}/T}{\frac {y^{4}\exp y}{(\exp y-1)^{2}}}\;dy}](https://amansaja.com/index.php?q=Mfv0Kfa6bO93MqTXLqrCMqiSL3dZb2hQMu9Onpz0p3oPb21BngBFb21FJgGRKArSngrOb3z2nO8PajzCyqoQaNJCaAdAzgzDoDeOo2e2ngw5oNlDnDG2ngnBoqe3yjJC)
이다.